20 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Nombre dérivé par la définition ★★★
Soit \(f(x)=x^2+3x\). Calcule le taux d’accroissement de \(f\) en \(a=2\), puis \(f'(2)\) et l’équation de la tangente en \(a=2\).
2 Vrai ou faux ? ★★★
Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant. a) Si \(f\) est dérivable en \(a\), elle est continue en \(a\). b) Si \(f\) est continue en \(a\), elle est dérivable en \(a\). c) La fonction \(x\mapsto|x|\) est dérivable en 0.
3 Calculs de dérivées ★★★
Dérive : a) \(f(x)=(3x^2-1)e^{2x}\) ; b) \(g(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}\) ; c) \(h(x)=\sqrt{1+x^2}\).
4 Rolle sur un trinôme ★★★
Vérifie que \(f(x)=x^2-4x+3\) satisfait les hypothèses du théorème de Rolle sur \([1,3]\) et détermine le réel \(c\) fourni.
5 Accroissements finis pour le carré ★★★
Pour \(f(x)=x^2\) sur \([1,4]\), détermine le réel \(c\) du théorème des accroissements finis.
6 Convexité d’un polynôme ★★★
Étudie la convexité de \(f(x)=x^3-6x^2+1\) et précise son point d’inflexion.
7 Un développement limité simple ★★★
Donne le développement limité d’ordre 3 en 0 de \(f(x)=\cos(2x)+e^{-x}\).
8 Dérivable avec une dérivée discontinue ★★★
On pose \(f(x)=x^2\cos\dfrac1x\) pour \(x\neq0\) et \(f(0)=0\). 1) Montre que \(f\) est dérivable en 0. 2) Calcule \(f'(x)\) pour \(x\neq0\) et montre que \(f'\) n’a pas de limite en 0.
9 Un polynôme avec au plus une racine ★★★
Montre que, pour tout réel \(m\), l’équation \(x^3-3x+m=0\) a au plus une solution dans l’intervalle \([-1,1]\).
10 Une inégalité sur l’arctangente ★★★
1) Montre que pour tous réels \(a\lt b\), \(|\arctan b-\arctan a|\le b-a\). 2) Montre que, plus précisément, \(0\le\arctan(3{,}2)-\arctan 3\le 0{,}02\).
11 Convexité de x ln x ★★★
1) Montre que \(f(x)=x\ln x\) est convexe sur \(]0,+\infty[\). 2) Déduis-en \(f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\le\dfrac{f(a)+f(b)}{2}\), puis vérifie pour \(a=1\), \(b=3\) que cela donne \(4\ln2\le3\ln3\).
12 Développement limité d’un logarithme ★★★
Donne le développement limité d’ordre 4 en 0 de \(\ln(1+2x)\) et déduis-en celui de \(\ln(1+2x)-2x\).
13 Une limite par développement limité ★★★
Calcule \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-\cos x-x}{x^2}\).
14 Deux limites avec L’Hôpital ★★★
Calcule avec la règle de L’Hôpital : a) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{3x}-1-3x}{x^2}\) ; b) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}\).
15 Taylor-Young de la racine ★★★
1) Calcule les dérivées successives de \(f(x)=\sqrt{1+x}\) en 0 jusqu’à l’ordre 3 et donne le développement limité d’ordre 3. 2) Déduis-en une valeur approchée de \(\sqrt{1{,}02}\).
16 Un reste intégral pour le cosinus ★★★
1) Écris Taylor avec reste intégral pour \(\cos\) en 0 à l’ordre 3 et montre que \(\left|\cos x-\left(1-\dfrac{x^2}2\right)\right|\le\dfrac{x^4}{24}\). 2) Applique-le à \(x=0{,}4\).
17 Étude locale d’une fonction prolongée ★★★
On pose \(f(x)=\dfrac{e^x-1}{x}\) pour \(x\neq0\). 1) Donne un développement limité d’ordre 3 de \(f\) en 0. 2) Prolonge \(f\) en 0, précise \(f'(0)\) et la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0.
18 Un développement limité composé ★★★
Calcule le développement limité d’ordre 4 en 0 de \(f(x)=\ln(1+\sin x)\).
19 Une limite difficile ★★★
Calcule \(\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac1{\sin^2x}-\dfrac1{x^2}\right)\) à l’aide de développements limités.
20 Encadrer le nombre e ★★★
Pour \(n\ge1\), montre que \(\left(1+\dfrac1n\right)^n\le e\le\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}\) en utilisant \(\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x\) pour \(x\gt0\). Applique-le à \(n=10\).
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