Limites et continuité : corrigé du contrôle de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Calculs de limites / 4 pts

a) On factorise par \(x^2\) : \(\dfrac{5-3/x}{2+7/x^2}\to\dfrac52\) (1 pt).

b) Pour \(x\ne1\), \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\to2\) (1 pt).

c) \(-|x|\le x\sin(1/x)\le|x|\) (1 pt) et \(|x|\to0\) : par encadrement, la limite vaut \(0\) (1 pt).

2 Définition avec ε et δ / 4 pts

a) \(|(2x-5)-3|=2|x-4|\) (1 pt). Avec \(\delta=\varepsilon/2\), \(|x-4|\le\delta\) donne \(|f(x)-3|\le\varepsilon\) (1 pt).

b) \(|x^2-4|=|x-2||x+2|\) (1 pt). Si \(|x-2|\le1\), alors \(|x+2|\le5\), donc \(|x^2-4|\le5|x-2|\le5\delta\le\varepsilon\) (1 pt).

3 Continuité et paramètres / 4 pts

a) \(f(3)=9-b=8\), donc \(b=1\) (1 pt).

b) À gauche, \(\lim_{x\to2^-}f(x)=2a+1\) ; à droite, \(f(2)=4-1=3\) (1 pt). La continuité impose \(2a+1=3\), donc \(a=1\) (1 pt).

c) Sur \(]-\infty,2[\) et sur \(]2,+\infty[\), \(f\) est polynomiale donc continue ; avec la continuité en \(2\), \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) (1 pt).

4 Théorème des valeurs intermédiaires / 4 pts

a) \(h\) est continue, \(h(0)=-1<0\), \(h(1)=1>0\) : le TVI donne \(c\in]0,1[\) (2 pts).

b) \(h\) est strictement croissante (somme de deux fonctions strictement croissantes), donc \(c\) est unique (1 pt).

c) \(h(0{,}7)\approx-0{,}132<0\) et \(h(0{,}8)\approx0{,}128>0\) : \(0{,}7

5 Continuité uniforme / 4 pts

a) Pour \(x,y\in[0,3]\), \(|x^2-y^2|=|x-y||x+y|\le6|x-y|\) : \(f\) est \(6\)-lipschitzienne (2 pts). Avec \(\delta=\varepsilon/6\), elle est uniformément continue (1 pt).

b) \(|x_n-y_n|=\dfrac1{2n}\to0\) mais \(y_n^2-x_n^2=1+\dfrac1{4n^2}\ge1\) : pour \(\varepsilon=\tfrac12\), aucun \(\delta\) ne convient (1 pt).