Intégration sur un intervalle quelconque : exercices de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Trois intégrales de Riemann ★★★

Étudier la convergence des intégrales suivantes et calculer celles qui convergent :

1. \( \displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^{3/2}} \) ;
2. \( \displaystyle\int_0^1\frac{dt}{t^{3/2}} \) ;
3. \( \displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dt}{\sqrt t} \).

2 Une exponentielle décroissante ★★★

Calculer \( \displaystyle\int_0^{+\infty}2e^{-t/4}\,dt \).

3 Intégrale de t ln t ★★★

Montrer que \( \displaystyle\int_0^1t\ln t\,dt \) converge et la calculer (intégration par parties sur \( [\varepsilon,1] \)).

4 Vrai ou faux ? ★★★

Dire, en justifiant, si chaque affirmation est vraie ou fausse.

1. Toute fonction continue sur \( [0,+\infty[ \) tendant vers \( 0 \) en \( +\infty \) est intégrable.
2. Si \( f \) est continue et intégrable sur \( [0,+\infty[ \), alors \( \int_0^Xf \) possède une limite finie quand \( X\to+\infty \).
3. Si \( |f|\le g \) et \( \int g=+\infty \), alors \( f \) n’est pas intégrable.

5 Intégrale sur tout R ★★★

Montrer que \( t\mapsto\dfrac{1}{1+t^2} \) est intégrable sur \( \mathbb{R} \) et calculer son intégrale.

6 Valeurs de Gamma ★★★

Calculer \( \Gamma(6) \) et \( \Gamma(\tfrac72) \), sachant que \( \Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi \).

7 Limite de t^n/(1+t) ★★★

Montrer que \( u_n=\displaystyle\int_0^1\frac{t^n}{1+t}\,dt \) tend vers \( 0 \), de deux façons : par convergence dominée, puis par un encadrement.

8 Une intégrale par changement de variable ★★★

Montrer que \( \displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dt}{\sqrt t\,(1+t)} \) converge et la calculer avec \( t=u^2 \).

9 Une intégrale ramenée à Gamma ★★★

Calculer \( \displaystyle\int_0^{+\infty}t^4e^{-2t}dt \).

10 Intégration par parties à l’infini ★★★

Montrer que \( \displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\ln t}{t^2}\,dt \) converge et la calculer.

11 Puissances d’une fonction décroissante ★★★

Pour \( n\ge1 \), soit \( J_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dt}{(1+t^2)^n} \). Montrer que \( J_n\to0 \).

12 Une série d’intégrales ★★★

Montrer que \( \displaystyle\int_0^1\frac{\ln(1/t)}{1-t/2}\,dt=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac1{2^k(k+1)^2} \). On rappelle que \( \int_0^1t^k\ln\frac1t\,dt=\frac1{(k+1)^2} \).

13 Continuité d’une transformée ★★★

Soit \( F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}\cos(xt)\,dt \). Montrer que \( F \) est continue sur \( \mathbb{R} \), puis calculer \( F(x) \) à l’aide de \( \int_0^{+\infty}e^{(ix-1)t}dt \).

14 Dérivée d’une intégrale à paramètre ★★★

Pour \( x>0 \), soit \( F(x)=\displaystyle\int_0^1\frac{dt}{x+t} \). Calculer \( F(x) \) directement puis \( F'(x) \) par dérivation sous l’intégrale, et comparer.

15 Moments gaussiens ★★★

En utilisant \( u=t^2 \), calculer \( \displaystyle\int_0^{+\infty}t^2e^{-t^2}dt \) et \( \displaystyle\int_0^{+\infty}t^4e^{-t^2}dt \).

16 Le minimum de Gamma ★★★

Montrer que \( \Gamma(x)<1 \) pour tout \( x\in]1,2[ \) et qu’il existe un unique \( c\in]1,2[ \) tel que \( \Gamma'(c)=0 \).

17 Équivalent en 0 ★★★

Montrer que \( \Gamma(x)\sim\dfrac1x \) quand \( x\to0^+ \). En déduire \( \displaystyle\lim_{x\to0^+}x\,\Gamma(x) \) et la limite de \( \Gamma \) en \( 0^+ \).

18 Transformée de Laplace de sin t / t ★★★

Pour \( x>0 \), soit \( L(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-xt}\frac{\sin t}{t}dt \) (on prolonge \( \frac{\sin t}t \) par \( 1 \) en \( 0 \)).

1. Montrer que \( L \) est de classe \( C^1 \) sur \( ]0,+\infty[ \) et calculer \( L'(x) \).
2. Montrer que \( L(x)\to0 \) quand \( x\to+\infty \), puis en déduire \( L(x) \).

19 Une limite en forme de (1 - t/n)^n ★★★

On pose \( f_n(t)=\left(1-\frac tn\right)^n \) pour \( 0\le t\le n \) et \( f_n(t)=0 \) pour \( t>n \). Calculer \( \displaystyle\int_0^{+\infty}f_n \), puis retrouver sa limite par convergence dominée (on admet \( \ln(1-u)\le-u \) pour \( u<1 \)).

20 Un contre-exemple à la domination ★★★

On reprend \( f_n(t)=n\,e^{-nt} \) sur \( ]0,+\infty[ \) (figure ci-dessous). Calculer \( \int_0^{+\infty}f_n \), la limite simple de \( f_n \), puis montrer qu’aucune fonction intégrable ne domine toute la suite.

21 Une intégrale définie par ln(1+x) ★★★

Pour \( x\ge0 \), soit \( F(x)=\displaystyle\int_0^1\frac{t^x-1}{\ln t}\,dt \). Montrer que \( F(x)=\ln(1+x) \) en dérivant sous l’intégrale. On remarquera que \( \frac{t^x-1}{\ln t}=\int_0^xt^s\,ds \).