1 Une norme sur \(\mathbb{R}^2\) / 4 pts
On pose \(N(x,y) = |2x + y| + |y|\).
1) Montrer que \(N\) est une norme sur \(\mathbb{R}^2\).
2) Déterminer les sommets de la boule unité fermée de \(N\) et son aire (c’est un parallélogramme).
3) Établir \(N_\infty \le N \le 4N_\infty\) et préciser des cas d’égalité.
2 Une suite particulière / 4 pts
Soit \(A = \left\{\tfrac1n : n \ge 1\right\} \subset \mathbb{R}\).
1) Déterminer l’intérieur de \(A\).
2) Déterminer l’adhérence de \(A\) (justifier avec des suites).
3) \(A\) est-elle fermée ? Montrer que \(A \cup \{0\}\) est compacte.
3 Extrema sous contraintes / 3 pts
Soit \(K = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \le 4,\ x + y \ge 1\}\) et \(g(x,y) = x + y\).
1) Montrer que \(K\) est compact.
2) Montrer que \(g\) atteint un maximum et un minimum sur \(K\), puis les déterminer.
4 Deux normes non équivalentes / 3 pts
Dans \(\mathcal{C}([0,1])\), on pose \(g_n(t) = \max(0, 1 - nt)\) pour \(n \ge 1\).
1) Calculer \(\|g_n\|_\infty\) et \(\|g_n\|_1\).
2) En déduire que \(\|\cdot\|_\infty\) et \(\|\cdot\|_1\) ne sont pas équivalentes.
5 Évaluation en zéro / 3 pts
Sur \(\mathcal{C}([0,1])\), on définit \(T(f) = f(0)\).
1) Montrer que \(T\) est continue pour \(\|\cdot\|_\infty\) et calculer \(\|T\|\).
2) En considérant \(h_n(t) = (1-t)^n\), montrer que \(T\) n’est pas continue pour \(\|\cdot\|_1\).
6 Un point fixe à approcher / 3 pts
Soit \(f(x) = 2 + \tfrac14 \sin x\) et \(u_0 = 2\), \(u_{n+1} = f(u_n)\). Calculatrice autorisée pour la question 2.
1) Montrer que \(f\) a un unique point fixe \(\ell\) dans \(\mathbb{R}\).
2) Déterminer le plus petit entier \(n\) pour lequel la majoration de Banach garantit \(|u_n - \ell| \le 10^{-8}\).
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