Intégration sur un intervalle quelconque : contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Nature et calcul d’intégrales de Riemann / 4 pts

Étudier la convergence et calculer, lorsque c’est possible :

1. \( \displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^{5/2}} \) ;
2. \( \displaystyle\int_0^1\frac{dt}{t^{2/3}} \) ;
3. \( \displaystyle\int_0^1\frac{dt}{t^{4/3}} \).

2 Intégrabilité par comparaison / 3 pts

Montrer que les fonctions suivantes sont intégrables :

1. \( f(t)=\dfrac{t+1}{t^3+2} \) sur \( [0,+\infty[ \) ;
2. \( g(t)=\dfrac{|\ln t|}{\sqrt t} \) sur \( ]0,1] \).

3 Fonction Gamma / 4 pts

À l’aide de la fonction \( \Gamma \), calculer :

1. \( \displaystyle\int_0^{+\infty}t^3e^{-t/2}dt \) ;
2. \( \displaystyle\int_0^{+\infty}\sqrt t\,e^{-t}dt \).

4 Convergence dominée / 3 pts

Soit \( I_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}\cos\!\left(\frac tn\right)dt \) pour \( n\ge1 \). Déterminer la limite de \( I_n \) par convergence dominée, puis la confirmer par un calcul exact avec \( \int_0^{+\infty}e^{(i/n-1)t}dt \).

5 Intégration terme à terme / 3 pts

Montrer que \( \displaystyle\int_0^1\frac{dt}{1-t/3}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{3^k(k+1)} \), puis en déduire la valeur de la somme.

6 Intégrale à paramètre / 3 pts

Pour \( x>0 \), soit \( G(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-xt}\cos t\,dt=\dfrac{x}{1+x^2} \) (admis). Justifier que \( G \) est de classe \( C^1 \) sur \( ]0,+\infty[ \), exprimer \( G'(x) \) sous forme d’intégrale, puis calculer \( \displaystyle\int_0^{+\infty}t\,e^{-t}\cos t\,dt \).