Intégration sur un intervalle quelconque : exercices corrigés de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Trois intégrales de Riemann ★★★

1. Ici \( \alpha=\frac32>1 \) : convergence. \( \int_1^X t^{-3/2}dt=2-2X^{-1/2}\to2 \). La valeur est \( 2 \).
2. \( \alpha=\frac32\ge1 \) en \( 0 \) : divergence, car \( \int_\varepsilon^1t^{-3/2}dt=2\varepsilon^{-1/2}-2\to+\infty \).
3. \( \alpha=\frac12\le1 \) en \( +\infty \) : divergence, car \( \int_1^X t^{-1/2}dt=2\sqrt X-2\to+\infty \).

2 Une exponentielle décroissante ★★★

Pour \( X>0 \), \( \int_0^X2e^{-t/4}dt=\big[-8e^{-t/4}\big]_0^X=8\left(1-e^{-X/4}\right) \). Quand \( X\to+\infty \), \( e^{-X/4}\to0 \). L’intégrale converge et vaut \( 8 \).

3 Intégrale de t ln t ★★★

Avec \( u=\ln t \), \( v'=t \) : \( \int_\varepsilon^1t\ln t\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}\ln t\Big]_\varepsilon^1-\int_\varepsilon^1\tfrac t2dt=-\tfrac{\varepsilon^2}{2}\ln\varepsilon-\tfrac14+\tfrac{\varepsilon^2}{4} \).

Comme \( \varepsilon^2\ln\varepsilon\to0 \), la limite existe : \( \displaystyle\int_0^1t\ln t\,dt=-\frac14 \).

4 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : \( f(t)=\frac1{1+t} \) tend vers \( 0 \) mais \( \int_0^X\frac{dt}{1+t}=\ln(1+X)\to+\infty \).
2. Vrai : l’intégrabilité entraîne la convergence (la convergence absolue implique la convergence).
3. Faux : avec \( f=0 \) et \( g(t)=\frac1t \) sur \( [1,+\infty[ \), on a \( |f|\le g \), \( \int g=+\infty \) et pourtant \( f \) est intégrable. La comparaison ne fonctionne que dans le sens « dominée par une intégrable ».

5 Intégrale sur tout R ★★★

La fonction est continue, positive, et \( \frac1{1+t^2}\sim\frac1{t^2} \) en \( \pm\infty \) (intégrable). Une primitive est \( \arctan \), donc \( \int_{-X}^{X}\frac{dt}{1+t^2}=2\arctan X\to2\cdot\frac\pi2 \). Ainsi \( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2}=\pi \).

6 Valeurs de Gamma ★★★

\( \Gamma(6)=5!=120 \).

Par la relation \( \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) \) : \( \Gamma(\tfrac72)=\tfrac52\cdot\tfrac32\cdot\tfrac12\cdot\Gamma(\tfrac12)=\dfrac{15}{8}\sqrt\pi\approx3{,}32 \).

7 Limite de t^n/(1+t) ★★★

Domination. On intègre sur \( [0,1[ \) (le point \( 1 \) ne change pas l’intégrale) : pour tout \( t\in[0,1[ \), \( \frac{t^n}{1+t}\to0 \). De plus \( 0\le\frac{t^n}{1+t}\le1 \), intégrable sur \( [0,1[ \). Donc \( u_n\to0 \).

Encadrement. \( 0\le u_n\le\int_0^1t^ndt=\frac1{n+1}\to0 \).

8 Une intégrale par changement de variable ★★★

En \( 0 \), l’intégrande est équivalent à \( t^{-1/2} \) (intégrable) ; en \( +\infty \), à \( t^{-3/2} \) (intégrable) : l’intégrale converge.

Avec \( t=u^2 \), \( dt=2u\,du \) : \( \displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{2u\,du}{u(1+u^2)}=2\int_0^{+\infty}\frac{du}{1+u^2}=2\cdot\frac\pi2=\pi \).

9 Une intégrale ramenée à Gamma ★★★

Posons \( u=2t \), \( dt=\frac{du}2 \) : \( \displaystyle\int_0^{+\infty}\Big(\frac u2\Big)^4e^{-u}\frac{du}2=\frac{1}{2^5}\Gamma(5)=\frac{24}{32}=\frac34 \).

10 Intégration par parties à l’infini ★★★

Avec \( u=\ln t \), \( v'=t^{-2} \), \( v=-\frac1t \) : \( \int_1^X\frac{\ln t}{t^2}dt=\Big[-\frac{\ln t}t\Big]_1^X+\int_1^X\frac{dt}{t^2}=-\frac{\ln X}{X}+1-\frac1X \).

Par croissances comparées, la limite en \( +\infty \) est \( 1 \) : l’intégrale converge et vaut \( 1 \).

11 Puissances d’une fonction décroissante ★★★

Posons \( f_n(t)=(1+t^2)^{-n} \). On intègre sur \( ]0,+\infty[ \) (le point \( 0 \) ne change pas l’intégrale). Pour \( t>0 \), \( 0<\frac1{1+t^2}<1 \), donc \( f_n(t)\to0 \). De plus \( 0\le f_n\le f_1 \), avec \( f_1 \) intégrable sur \( [0,+\infty[ \). Par convergence dominée, \( J_n\to0 \).

12 Une série d’intégrales ★★★

Pour \( t\in]0,1] \), \( \frac1{1-t/2}=\sum_{k\ge0}\frac{t^k}{2^k} \), donc l’intégrande vaut \( \sum_k f_k(t) \) avec \( f_k(t)=\frac{t^k}{2^k}\ln\frac1t\ge0 \).

Les termes sont positifs : on intègre terme à terme (cas positif). Chaque terme donne \( \frac1{2^k}\cdot\frac1{(k+1)^2} \), et la série converge (majorée par \( \sum 2^{-k} \)). D’où l’égalité, de valeur \( \approx1{,}164 \).

13 Continuité d’une transformée ★★★

Continuité. \( x\mapsto e^{-t}\cos(xt) \) est continue, et \( |e^{-t}\cos(xt)|\le e^{-t} \), intégrable sur \( [0,+\infty[ \) et indépendante de \( x \). Donc \( F \) est continue sur \( \mathbb{R} \).

Calcul. \( \int_0^{+\infty}e^{(ix-1)t}dt=\frac{1}{1-ix}=\frac{1+ix}{1+x^2} \) (car \( \mathrm{Re}(ix-1)<0 \)). En prenant la partie réelle, \( F(x)=\dfrac1{1+x^2} \).

14 Dérivée d’une intégrale à paramètre ★★★

Directement, \( F(x)=\ln(x+1)-\ln x \), donc \( F'(x)=\frac1{x+1}-\frac1x=-\frac1{x(x+1)} \).

Sous l’intégrale : \( \frac{\partial}{\partial x}\frac1{x+t}=-\frac1{(x+t)^2} \), continue et dominée sur \( [a,+\infty[\times[0,1] \) par \( \frac1{a^2} \) (\( a>0 \)). Alors \( F'(x)=-\int_0^1\frac{dt}{(x+t)^2}=-\Big[-\frac1{x+t}\Big]_0^1=-\Big(\frac1x-\frac1{x+1}\Big)=-\frac1{x(x+1)} \). Les deux résultats coïncident.

15 Moments gaussiens ★★★

Pour \( k\in\mathbb{N} \), avec \( u=t^2 \), \( dt=\frac{du}{2\sqrt u} \) : \( \int_0^{+\infty}t^{2k}e^{-t^2}dt=\frac12\int_0^{+\infty}u^{k-1/2}e^{-u}du=\frac12\Gamma(k+\tfrac12) \).

Pour \( k=1 \) : \( \frac12\Gamma(\frac32)=\frac12\cdot\frac{\sqrt\pi}2=\frac{\sqrt\pi}4 \). Pour \( k=2 \) : \( \frac12\Gamma(\frac52)=\frac12\cdot\frac{3\sqrt\pi}4=\frac{3\sqrt\pi}{8} \).

16 Le minimum de Gamma ★★★

\( \Gamma''(x)=\int_0^{+\infty}(\ln t)^2t^{x-1}e^{-t}dt>0 \) : \( \Gamma \) est strictement convexe. Comme \( \Gamma(1)=\Gamma(2)=1 \), le graphe sur \( ]1,2[ \) est strictement sous la corde horizontale, donc \( \Gamma(x)<1 \).

Par le théorème de Rolle sur \( [1,2] \), il existe \( c \) avec \( \Gamma'(c)=0 \). Comme \( \Gamma' \) est strictement croissante (\( \Gamma''>0 \)), ce \( c \) est unique. Numériquement, \( c\approx1{,}46 \) et \( \Gamma(c)\approx0{,}886 \).

17 Équivalent en 0 ★★★

Pour \( x>0 \), \( \Gamma(x)=\frac{\Gamma(x+1)}{x} \). Comme \( \Gamma \) est continue en \( 1 \), \( \Gamma(x+1)\to\Gamma(1)=1 \) quand \( x\to0^+ \).

Donc \( x\Gamma(x)=\Gamma(x+1)\to1 \), c’est-à-dire \( \Gamma(x)\sim\frac1x \), et \( \Gamma(x)\to+\infty \) en \( 0^+ \).

18 Transformée de Laplace de sin t / t ★★★

1. \( \left|\frac{\sin t}t\right|\le1 \), donc l’intégrande est intégrable. La dérivée partielle est \( -e^{-xt}\sin t \), dominée sur \( [a,+\infty[ \) (\( a>0 \)) par \( e^{-at} \). Donc \( L \) est \( C^1 \) et \( L'(x)=-\int_0^{+\infty}e^{-xt}\sin t\,dt=-\mathrm{Im}\frac1{x-i}=-\mathrm{Im}\frac{x+i}{x^2+1}=-\frac1{1+x^2} \).
2. Pour \( x\ge1 \), \( \left|e^{-xt}\frac{\sin t}t\right|\le e^{-t} \) et la fonction tend vers \( 0 \) pour tout \( t>0 \) : par convergence dominée, \( L(x)\to0 \). Or \( L(x)=C-\arctan x \), donc \( 0=C-\frac\pi2 \) et \( L(x)=\dfrac\pi2-\arctan x \).

19 Une limite en forme de (1 - t/n)^n ★★★

\( \int_0^n\left(1-\frac tn\right)^ndt=\Big[-\frac{n}{n+1}\left(1-\frac tn\right)^{n+1}\Big]_0^n=\frac n{n+1}\to1 \).

Domination : \( \ln f_n(t)=n\ln(1-\frac tn)\le-t \), donc \( 0\le f_n(t)\le e^{-t} \), intégrable. Convergence simple : \( f_n(t)\to e^{-t} \). Le théorème donne \( \int f_n\to\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=1 \), ce qui est bien la limite de \( \frac n{n+1} \).

20 Un contre-exemple à la domination ★★★

\( \int_0^{+\infty}ne^{-nt}dt=1 \) pour tout \( n \), et \( f_n(t)\to0 \) pour tout \( t>0 \) : l’intégrale de la limite est \( 0\ne1 \).

Si \( \varphi \) dominait tous les \( f_n \), on aurait \( \varphi(t)\ge\sup_nf_n(t) \). Pour \( t\in]0,1] \), prenons \( n=\lfloor1/t\rfloor\ge1 \) : \( nt\le1 \), donc \( f_n(t)\ge ne^{-1}\ge\frac{1/t-1}{e} \). Or \( \int_0^1\left(\frac1t-1\right)dt \) diverge : \( \varphi \) ne peut pas être intégrable.

21 Une intégrale définie par ln(1+x) ★★★

Pour \( t\in]0,1[ \), \( \int_0^xt^sds=\frac{t^x-1}{\ln t} \), donc \( 0\le\frac{t^x-1}{\ln t}\le x \) : l’intégrande est bornée donc intégrable sur \( ]0,1[ \), et \( F(0)=0 \).

Sa dérivée partielle en \( x \) est \( t^x \), continue en \( x \), avec \( 0\le t^x\le1 \) : domination par la constante \( 1 \), intégrable sur \( [0,1] \). Donc \( F'(x)=\int_0^1t^xdt=\frac1{1+x} \), et comme \( F(0)=0 \), on conclut \( F(x)=\ln(1+x) \).