Intégration sur un intervalle quelconque : corrigé du contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Nature et calcul d’intégrales de Riemann / 4 pts

1. \( \alpha=\frac52>1 \) : convergence ; \( \int_1^Xt^{-5/2}dt=\frac23(1-X^{-3/2})\to\frac23 \). (1,5 pt)
2. \( \alpha=\frac23<1 \) : convergence ; \( \int_0^1t^{-2/3}dt=[3t^{1/3}]_0^1=3 \). (1,5 pt)
3. \( \alpha=\frac43\ge1 \) en \( 0 \) : divergence, car \( \int_\varepsilon^1t^{-4/3}dt=3(\varepsilon^{-1/3}-1)\to+\infty \). (1 pt)

2 Intégrabilité par comparaison / 3 pts

1. \( f \) est continue sur \( [0,+\infty[ \), positive, et \( f(t)\sim\frac{t}{t^3}=\frac1{t^2} \) en \( +\infty \), intégrable : \( f \) est intégrable. (1,5 pt)
2. \( t^{3/4}g(t)=t^{1/4}|\ln t|\to0 \) en \( 0 \), donc \( g(t)=o(t^{-3/4}) \) avec \( \frac34<1 \) : \( g \) est intégrable sur \( ]0,1] \). (1,5 pt)

3 Fonction Gamma / 4 pts

1. Posons \( t=2u \), \( dt=2du \) : \( \int_0^{+\infty}(2u)^3e^{-u}2\,du=2^4\Gamma(4)=16\times6=96 \). (2 pts)
2. \( \int_0^{+\infty}t^{3/2-1}e^{-t}dt=\Gamma(\tfrac32)=\tfrac12\Gamma(\tfrac12)=\dfrac{\sqrt\pi}{2} \). (2 pts)

4 Convergence dominée / 3 pts

Limite simple : \( \cos(t/n)\to1 \), donc \( f_n(t)\to e^{-t} \). Domination : \( |f_n(t)|\le e^{-t} \), intégrable. Donc \( I_n\to\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=1 \). (1,5 pt)

Calcul exact : \( \int_0^{+\infty}e^{(i/n-1)t}dt=\frac1{1-i/n} \) ; partie réelle : \( I_n=\dfrac{1}{1+1/n^2}=\dfrac{n^2}{n^2+1} \) (1 pt), qui tend bien vers \( 1 \) (0,5 pt).

5 Intégration terme à terme / 3 pts

Pour \( t\in[0,1] \), \( \frac1{1-t/3}=\sum_{k\ge0}\frac{t^k}{3^k} \), termes positifs (1 pt). On intègre terme à terme (cas positif) : \( \int_0^1\frac{t^k}{3^k}dt=\frac{1}{3^k(k+1)} \), d’où l’égalité (1 pt).

Valeur : \( \int_0^1\frac{dt}{1-t/3}=[-3\ln(1-t/3)]_0^1=-3\ln\frac23=3\ln\frac32 \), donc \( \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac1{3^k(k+1)}=3\ln\frac32\approx1{,}216 \) (1 pt).

6 Intégrale à paramètre / 3 pts

Dérivée partielle : \( -t\,e^{-xt}\cos t \), dominée sur \( [a,+\infty[ \) (\( a>0 \)) par \( t\,e^{-at} \), intégrable. Donc \( G \) est \( C^1 \) et \( G'(x)=-\int_0^{+\infty}t\,e^{-xt}\cos t\,dt \). (1,5 pt)

Or \( G'(x)=\dfrac{(1+x^2)-2x^2}{(1+x^2)^2}=\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2} \), nul en \( x=1 \) (1 pt). Donc \( \int_0^{+\infty}t\,e^{-t}\cos t\,dt=-G'(1)=0 \). (0,5 pt)