Calcul différentiel : exercices de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Dérivées partielles à calculer ★★★

Calcule les dérivées partielles premières de \(f(x,y)=3x^2y-5y^3+2x\).

2 Exponentielle et évaluation ★★★

Soit \(g(x,y)=x\,e^{y}\). Calcule \(\partial_xg\), \(\partial_yg\), puis leurs valeurs en \((2,0)\).

3 Gradient en dimension 3 ★★★

Soit \(h(x,y,z)=xyz+z^2\). Calcule \(\nabla h(x,y,z)\) puis \(\nabla h(1,2,3)\).

4 Différentielle et approximation ★★★

Soit \(f(x,y)=x^2+3xy\) et \(a=(1,-1)\).

1. Donne \(\nabla f(a)\) et \(df_a(h_1,h_2)\).
2. Estime \(f(1{,}02;\,-0{,}99)\) à l’aide de \(df_a\).

5 Vrai ou faux ? ★★★

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ? Justifie.

1. Si \(f\) est différentiable en \(a\), elle admet des dérivées partielles en \(a\).
2. Si \(f\) admet des dérivées partielles en \(a\), elle est continue en \(a\).
3. Si \(f\) est de classe \(C^1\), elle est différentiable.

6 Dérivée dans une direction ★★★

Soit \(f(x,y)=x^2y\), \(a=(1,2)\) et \(v=\left(\tfrac35,\tfrac45\right)\). Calcule \(D_vf(a)\).

7 Une composée avec une courbe ★★★

Soit \(f(x,y)=xy\) et \(\gamma(t)=(e^t,t^2)\). Calcule \((f\circ\gamma)'(t)\) par la règle de la chaîne, puis vérifie en dérivant directement.

8 Hessienne à un point ★★★

Calcule la matrice hessienne de \(f(x,y)=x^2y^3\) puis \(H_f(1,-1)\). Vérifie l’égalité de Schwarz.

9 Coordonnées polaires ★★★

Soit \(f(x,y)=xy^2\) et \(g(r,\theta)=f(r\cos\theta,r\sin\theta)\). Calcule \(\partial_\theta g\) de deux façons et évalue-le en \(r=2,\ \theta=\tfrac\pi4\).

10 Un minimum local ★★★

Étudie les extrema locaux de \(f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x\).

11 Un point selle ★★★

Montre que \(f(x,y)=x^2-4y^2+2x\) n’a pas d’extremum local.

12 Fonction harmonique ★★★

Montre que \(u(x,y)=\ln(x^2+y^2)\) vérifie \(\partial_x^2u+\partial_y^2u=0\) sur \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\).

13 Une EDP linéaire ★★★

On cherche \(u\) de classe \(C^1\) telle que \(2\,\partial_xu-3\,\partial_yu=0\).

1. Vérifie que \(u(x,y)=\varphi(3x+2y)\) est solution pour tout \(\varphi\) de classe \(C^1\).
2. Trouve la solution vérifiant \(u(x,0)=x^2\).

14 Optimiser un produit ★★★

Deux réels vérifient \(x+y=10\). Quel est le maximum de \(xy\) ? Fais-le par la méthode de Lagrange puis par substitution.

15 Un point critique dégénéré ★★★

Étudie les extrema locaux de \(f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)^2\).

16 Extrema liés sur une ellipse ★★★

Détermine le maximum et le minimum de \(f(x,y)=xy\) sur l’ellipse \(x^2+4y^2=8\).

17 Boîte de volume maximal ★★★

On fabrique une boîte parallélépipédique sans couvercle, de dimensions \(x,y,z>0\), avec \(48\) dm² de carton. Quel volume maximal peut-elle avoir ?

18 Hessienne et dérivée seconde le long d’une droite ★★★

Soit \(f\) de classe \(C^2\) et \(g(t)=f(a+th)\). Montre que \(g''(0)=h^TH_f(a)h\). Applique à \(f(x,y)=x^3-xy^2\), \(a=(1,1)\), \(h=(1,-2)\).

19 Équation des ondes ★★★

On considère \(u_{tt}=4u_{xx}\) pour \(u\) de classe \(C^2\). Posons \(u(x,t)=v(p,q)\) avec \(p=x-2t\), \(q=x+2t\).

1. Montre que \(u_{tt}-4u_{xx}=-16\,v_{pq}\).
2. En déduire la forme des solutions.
3. Montre que \(u(x,t)=\sin x\cos2t\) est solution et écris-la sous cette forme.

20 Différentiabilité en défaut ★★★

Soit \(f(x,y)=\dfrac{x^3}{x^2+y^2}\) pour \((x,y)\neq(0,0)\) et \(f(0,0)=0\). Montre que \(f\) est continue en \((0,0)\), admet des dérivées partielles, mais n’est pas différentiable en \((0,0)\).