Calcul différentiel : contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Dérivées partielles et gradient / 3 pts

Soit \(f(x,y)=x\,e^{2y}+y^2\). Calcule \(\partial_xf\), \(\partial_yf\), puis \(\nabla f(3,0)\) et \(df_{(3,0)}\).

2 Règle de la chaîne / 3 pts

Soit \(f(x,y)=x^2+3xy\) et \(\gamma(t)=(t^2,\sin t)\). Calcule \((f\circ\gamma)'(t)\) par la règle de la chaîne et contrôle par un calcul direct.

3 Différentiabilité / 4 pts

Soit \(f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}\) pour \((x,y)\neq(0,0)\), \(f(0,0)=0\).

1. Montre que \(f\) est continue en \((0,0)\).
2. Calcule \(\partial_xf(0,0)\) et \(\partial_yf(0,0)\).
3. \(f\) est-elle différentiable en \((0,0)\) ?

4 Extrema locaux / 4 pts

Étudie les extrema locaux de \(f(x,y)=y^3-3y+x^2-2x\).

5 Optimisation sous contrainte / 3 pts

Trouve le point de la droite \(2x+y=5\) le plus proche de l’origine (on admet qu’il existe). Donne la distance minimale.

6 Équation aux dérivées partielles / 3 pts

Soit \(\varphi\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) et \(u(x,y)=\varphi(xy)\).

1. Montre que \(x\,\partial_xu-y\,\partial_yu=0\).
2. Donne la solution vérifiant \(u(x,1)=x^3\).