Fonctions holomorphes : corrigé du contrôle de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Cauchy-Riemann / 3 pts

\(u_x=2x+3=v_y\) et \(u_y=-2y=-v_x\) : équations vérifiées, \(u,v\) de classe \(C^1\), donc \(f\) holomorphe (1 pt).

\(f'=u_x+iv_x=2x+3+2iy=2z+3\) (1 pt). \(f'(1+i)=2(1+i)+3=5+2i\) (1 pt).

2 Rayons de convergence / 3 pts

a) \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+1}{4n}\to\dfrac14\), \(R=4\) (1 pt).

b) Série géométrique de raison \(z^2/9\) : convergente si et seulement si \(|z|^2<9\), \(R=3\) (1 pt).

c) \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n^2}{(n+1)^2}\to1\), \(R=1\) (1 pt).

3 Intégrales de Cauchy / 4 pts

a) \(1\) est dans le disque : \(2i\pi\sin1\) (1,5 pt).

b) \(3\) est hors du disque, \(z/(z-3)\) holomorphe sur le disque : \(0\) par Cauchy (1 pt).

c) Cauchy à l’ordre \(1\) : \(2i\pi\,(e^{2z})'(0)=2i\pi\times2=4i\pi\) (1,5 pt).

4 Application de Liouville / 3 pts

Fixons \(a\in\mathbb{C}\) et \(r>0\). Sur \(|z-a|=r\), \(|f|\leq2+\sqrt{|a|+r}\) (1 pt).

Inégalité de Cauchy : \(|f'(a)|\leq\dfrac{2+\sqrt{|a|+r}}{r}\) (1 pt), qui tend vers \(0\) quand \(r\to+\infty\). Donc \(f'(a)=0\) pour tout \(a\) et \(f\) est constante (1 pt).

5 Principe du maximum / 4 pts

\(|z^3+2|\leq|z|^3+2\leq3\), égalité si et seulement si \(|z|=1\) et \(z^3\) réel positif, soit \(z^3=1\) : \(z\in\{1,e^{2i\pi/3},e^{-2i\pi/3}\}\) (2 pts).

\(|z^3+2|\geq2-|z|^3\geq1\), égalité si et seulement si \(z^3=-1\) : \(z\in\{-1,e^{i\pi/3},e^{-i\pi/3}\}\) (2 pts). Les deux sont atteints au bord, comme le prévoit le principe du maximum (et du minimum, car \(z^3+2\) ne s’annule pas sur le disque).

6 Zéros et prolongement / 3 pts

a) \(\cos z-1=-\dfrac{z^2}{2}+\dfrac{z^4}{24}-\cdots=z^2\left(-\dfrac12+\cdots\right)\) : ordre \(2\) (1 pt).

b) \(1/n^2\to0\) et \(f\) est continue en \(0\) : \(f(0)=0\) (1 pt). Les zéros s’accumulent en \(0\), point du domaine connexe \(\mathbb{C}\), donc \(f\equiv0\) (1 pt).