1 Cauchy-Riemann / 3 pts
Soit \(f(x+iy)=(x^2-y^2+3x)+i(2xy+3y)\). Vérifie que \(f\) est holomorphe sur \(\mathbb{C}\), exprime \(f'\) en fonction de \(z\) et calcule \(f'(1+i)\).
2 Rayons de convergence / 3 pts
Détermine le rayon de convergence de a) \(\sum \dfrac{n}{4^n}z^n\) ; b) \(\sum \dfrac{z^{2n}}{9^n}\) ; c) \(\sum \dfrac{z^n}{n^2}\).
3 Intégrales de Cauchy / 4 pts
Calcule : a) \(\oint_{|z|=2}\dfrac{\sin z}{z-1}dz\) ; b) \(\oint_{|z|=2}\dfrac{z}{z-3}dz\) ; c) \(\oint_{|z|=1}\dfrac{e^{2z}}{z^2}dz\).
4 Application de Liouville / 3 pts
Soit \(f\) entière avec \(|f(z)|\leq2+\sqrt{|z|}\) pour tout \(z\). Montre que \(f\) est constante.
5 Principe du maximum / 4 pts
Détermine le maximum et le minimum de \(|z^3+2|\) sur \(|z|\leq1\), et les points où ils sont atteints.
6 Zéros et prolongement / 3 pts
a) Quel est l’ordre du zéro de \(\cos z-1\) en \(0\) ? b) Soit \(f\) entière avec \(f(1/n^2)=0\) pour tout \(n\geq1\). Montre que \(f=0\).
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