Singularités et théorème des résidus : contrôle de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Nature des singularités / 3 pts

Déterminer la nature de la singularité en \(0\) de : (a) \(f(z) = \dfrac{e^z-1-z}{z^2}\) ; (b) \(g(z) = \dfrac{\sin z}{z^4}\) ; (c) \(h(z) = e^{1/z^2}\). Pour chacune, donner le résidu en \(0\).

2 Séries de Laurent / 4 pts

Soit \(f(z) = \dfrac{1}{(z+1)(z+3)}\).

1. Décomposer \(f\) en éléments simples et donner son développement de Laurent sur \(1 \lt |z| \lt 3\) (deux premiers termes de chaque partie, plus le terme général).
2. Quel est le coefficient de \(z^{-1}\) ? Le relier au résidu de \(f\) en \(-1\).
3. Donner le terme constant du développement de \(f\) sur \(|z| \lt 1\).

3 Résidus et intégrales / 4 pts

Soit \(f(z) = \dfrac{z^2+1}{z(z-2)^2}\).

1. Déterminer les pôles de \(f\) et leur ordre.
2. Calculer les résidus de \(f\).
3. Calculer \(\displaystyle\oint_{|z|=3}f(z)\,dz\) et \(\displaystyle\oint_{|z-2|=1}f(z)\,dz\) (sens direct).

4 Intégrale réelle / 4 pts

Calculer \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+2x+5)^2}\) en justifiant la méthode.

5 Intégrale trigonométrique / 3 pts

Calculer \(\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{3+2\sin\theta}\).

6 Théorie et lacets / 2 pts

(a) Vrai ou faux : une fonction holomorphe et bornée sur un disque épointé \(D^*(a,R)\) admet une limite finie en \(a\). Justifier.

(b) Soit \(\gamma\) le cercle \(|z|=2\) parcouru trois fois dans le sens direct. Calculer \(\displaystyle\oint_\gamma\frac{z}{z^2+1}\,dz\).