Fonctions holomorphes : exercices corrigés de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Dérivée de z² par la définition ★★★

\(\dfrac{(z+h)^2-z^2}{h}=\dfrac{2zh+h^2}{h}=2z+h\). Quand \(h\to0\), ce quotient tend vers \(2z\), quelle que soit la direction : \(f\) est holomorphe sur \(\mathbb{C}\) et \(f'(z)=2z\).

Ainsi \(f'(1+2i)=2(1+2i)=2+4i\).

2 Cauchy-Riemann pour le cube ★★★

\(u=x^3-3xy^2\), \(v=3x^2y-y^3\). Alors \(u_x=3x^2-3y^2=v_y\) et \(u_y=-6xy=-v_x\) (car \(v_x=6xy\)) : les équations sont vérifiées partout, et \(u,v\) sont \(C^1\), donc \(f\) est holomorphe.

\(f'=u_x+iv_x=3x^2-3y^2+6ixy=3(x+iy)^2=3z^2\) (on reconnaît \(z^3\)). En \(1+i\) : \(u_x=0\), \(v_x=6\), donc \(f'(1+i)=6i\). Contrôle : \(3(1+i)^2=3\times2i=6i\).

3 La conjugaison ★★★

\(u(x,y)=x\), \(v(x,y)=-y\). Alors \(u_x=1\) et \(v_y=-1\). La première équation \(u_x=v_y\) donne \(1=-1\) : fausse en tout point.

Donc \(f\) n’est \(\mathbb{C}\)-dérivable en aucun point, bien que \(u\) et \(v\) soient très régulières.

4 Trois rayons de convergence ★★★

a) \(|a_{n+1}/a_n|=2\), donc \(R=1/2\).

b) \(|a_{n+1}/a_n|=\dfrac1{n+1}\to0\), donc \(R=+\infty\) : c’est la série de l’exponentielle.

c) \(|a_{n+1}/a_n|=\dfrac{n+1}{n}\to1\), donc \(R=1\).

5 Deux intégrales sur un cercle ★★★

\(dz=2ie^{it}dt\). Premièrement \(\oint_C\dfrac{dz}{z}=\int_0^{2\pi}\dfrac{2ie^{it}}{2e^{it}}dt=\int_0^{2\pi}i\,dt=2i\pi\).

Ensuite \(\oint_C z^2dz=\int_0^{2\pi}4e^{2it}\cdot2ie^{it}dt=8i\int_0^{2\pi}e^{3it}dt=8i\left[\dfrac{e^{3it}}{3i}\right]_0^{2\pi}=0\), car \(e^{6i\pi}=1\). Cela correspond au fait que \(z^2\) a une primitive \(z^3/3\) sur \(\mathbb{C}\).

6 Formule de Cauchy avec une exponentielle ★★★

Le point \(1\) est dans le disque \(|z|<3\) et \(z\mapsto e^z\) est holomorphe sur \(\mathbb{C}\) : \(I_1=2i\pi e^1=2i\pi e\).

Pour \(I_2\), le point \(1\) est en dehors du disque \(|z|\leq1/2\) et \(e^z/(z-1)\) est holomorphe sur ce disque : par le théorème de Cauchy, \(I_2=0\).

7 Vrai ou faux ? ★★★

a) Faux : \(\exp\) est entière et n’est pas un polynôme (sa série de Taylor est infinie).

b) Faux : \(\sin\) est entière et non constante, donc non bornée par Liouville. On le voit aussi avec \(|\sin(iy)|=\sinh|y|\to+\infty\).

c) Vrai : si \(f'=0\) sur un ouvert connexe, \(u\) et \(v\) ont des gradients nuls (par Cauchy-Riemann), donc sont constantes sur ce connexe.

8 Conjuguée harmonique ★★★

Il faut \(v_y=u_x=e^x\cos y\), donc \(v=e^x\sin y+g(x)\). Puis \(v_x=-u_y=e^x\sin y\) donne \(e^x\sin y+g'(x)=e^x\sin y\), soit \(g'=0\) et \(g=c\) constante réelle.

Ainsi \(v=e^x\sin y+c\) et \(f=e^x(\cos y+i\sin y)+ic=e^z+ic\).

9 Le module au carré ★★★

\(u=x^2+y^2\), \(v=0\). Cauchy-Riemann : \(u_x=2x=v_y=0\) et \(u_y=2y=-v_x=0\), soit \(x=y=0\). Ailleurs la condition nécessaire est fausse, donc pas de dérivabilité complexe.

En \(0\), \(\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{|h|^2}{h}=\overline h\to0\) : \(f\) est \(\mathbb{C}\)-dérivable en \(0\) avec \(f'(0)=0\). Mais être holomorphe suppose la dérivabilité sur un ouvert : aucun ouvert ne convient, donc \(f\) n’est holomorphe nulle part.

10 Développement de 1/(1+z²) ★★★

Avec \(\dfrac1{1-w}=\sum w^n\) pour \(|w|<1\) et \(w=-z^2\) : \(f(z)=\sum_{n\ge0}(-1)^nz^{2n}\) pour \(|z|<1\). Le rayon est \(1\) : à \(|z|=1\) les termes ne tendent pas vers \(0\), et les points \(\pm i\) sont des singularités.

Le coefficient de \(z^4\) est \((-1)^2=1\) et vaut \(f^{(4)}(0)/4!\), d’où \(f^{(4)}(0)=24\).

11 Intégrales de 1/(z²+1) ★★★

Pour \(|z|=2\) : les deux pôles \(\pm i\) sont dans le disque. \(\oint\dfrac{dz}{z\mp i}=2i\pi\) (formule de Cauchy avec \(f=1\)), donc l’intégrale vaut \(\dfrac1{2i}(2i\pi-2i\pi)=0\).

Pour \(|z-i|=1/2\) : seul \(i\) est dans le disque. On a \(\oint\dfrac{dz}{z-i}=2i\pi\) et \(\oint\dfrac{dz}{z+i}=0\) (Cauchy, \(-i\) à l’extérieur). Résultat : \(\dfrac1{2i}\times2i\pi=\pi\).

12 Dérivée seconde par Cauchy ★★★

Formule de Cauchy à l’ordre \(n=2\) avec \(f=\cos\) et \(a=0\) : \(\oint\dfrac{f(z)}{z^3}dz=\dfrac{2i\pi}{2!}f''(0)\). Comme \(f''=-\cos\), \(f''(0)=-1\), donc l’intégrale vaut \(-i\pi\).

13 Croissance au plus affine ★★★

Inégalité de Cauchy en \(0\) sur le cercle de rayon \(R\), où \(M(R)\leq5+3R\) : \(|f^{(n)}(0)|\leq\dfrac{n!(5+3R)}{R^n}\). Pour \(n\geq2\) le membre de droite tend vers \(0\) quand \(R\to\infty\), donc \(f^{(n)}(0)=0\).

Comme \(f\) est la somme de sa série de Taylor sur \(\mathbb{C}\), \(f(z)=f(0)+f'(0)z\). Pour \(n=1\) : \(|f'(0)|\leq\dfrac{5+3R}{R}\to3\), d’où \(|\beta|\leq3\).

14 Zéros de sin et ordre de z − sin z ★★★

a) \(\sin z=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=0\iff e^{2iz}=1\iff z\in\pi\mathbb{Z}\). En \(k\pi\), \(\sin'(k\pi)=\cos(k\pi)=\pm1\neq0\) : tous ces zéros sont simples (ordre \(1\)) et isolés.

b) \(z-\sin z=\dfrac{z^3}{6}-\dfrac{z^5}{120}+\cdots\) : les dérivées d’ordre \(0,1,2\) en \(0\) sont nulles et la troisième vaut \(1\neq0\). L’ordre est \(3\).

15 Maximum sur un disque ★★★

a) \(|z^2-1|\leq|z|^2+1\leq2\), avec égalité si et seulement si \(|z|=1\) et \(z^2\) est un réel négatif, soit \(z^2=-1\) : \(z=\pm i\). Le maximum vaut \(2\), atteint en \(\pm i\), sur le bord, comme prévu.

b) \(|e^{x+iy}|=e^x\leq e^{|z|}\leq e^2\), avec égalité pour \(x=2\), \(y=0\) : maximum \(e^2\) atteint en \(z=2\) (au bord).

16 Module constant sur le bord ★★★

Principe du maximum : \(|f|\leq1\) sur le disque (le max est sur le bord où \(|f|=1\)). Comme \(f\) ne s’annule pas, \(1/f\) est holomorphe sur \(D(0,1)\), continue sur le disque fermé, de module \(1\) au bord : \(|1/f|\leq1\), donc \(|f|\geq1\).

Ainsi \(|f|=1\) partout. Un point intérieur serait alors un maximum local de \(|f|\) : par le principe du maximum, \(f\) est constante.

17 Zéros qui s’accumulent ★★★

a) La suite \(1/n\) tend vers \(0\) et, par continuité, \(f(0)=0\) : \(0\) est un zéro non isolé. Comme \(\mathbb{C}\) est connexe, \(f\equiv0\).

b) Non. Posons \(g(z)=f(z)-z\) : elle est nulle en \(1/(2k)\) pour \(k\geq1\), ensemble qui s’accumule en \(0\in D(0,1)\), donc \(g\equiv0\) et \(f(z)=z\). Mais alors \(f(1/3)=1/3\neq-1/3\) : contradiction.

18 Intégrale avec trois termes ★★★

On cherche \(\dfrac1{z^2(z-2)}=\dfrac Az+\dfrac B{z^2}+\dfrac C{z-2}\). En \(z=0\) : \(-2B=1\), \(B=-\dfrac12\). En \(z=2\) : \(4C=1\), \(C=\dfrac14\). Le coefficient de \(z^2\) donne \(A+C=0\), \(A=-\dfrac14\).

Les points \(0\) et \(2\) sont dans le disque. Par Cauchy : \(\oint\dfrac{e^z}{z}=2i\pi\), \(\oint\dfrac{e^z}{z^2}=2i\pi(e^z)'(0)=2i\pi\), \(\oint\dfrac{e^z}{z-2}=2i\pi e^2\).

Total : \(2i\pi\left(-\dfrac14-\dfrac12+\dfrac{e^2}4\right)=\dfrac{i\pi(e^2-3)}{2}\approx6{,}90\,i\).

19 Partie réelle positive ★★★

Posons \(g=e^{-f}\) : elle est entière et \(|g|=e^{-\operatorname{Re}f}\leq1\), donc bornée. Par Liouville \(g\) est constante.

Alors \(0=g'=-f'e^{-f}\) ; comme \(e^{-f}\neq0\), \(f'=0\) sur \(\mathbb{C}\) connexe, et \(f\) est constante.

20 Module constant ★★★

Si \(c=0\), \(f=0\). Sinon, dériver \(u^2+v^2=c^2\) par rapport à \(x\) et \(y\) donne \(uu_x+vv_x=0\) et \(uu_y+vv_y=0\). Avec Cauchy-Riemann (\(u_y=-v_x\), \(v_y=u_x\)) la seconde devient \(-uv_x+vu_x=0\).

Le système en \((u_x,v_x)\), de matrice \(\begin{pmatrix}u&v\\v&-u\end{pmatrix}\) et de déterminant \(-(u^2+v^2)=-c^2\neq0\), n’a que la solution nulle : \(u_x=v_x=0\), donc \(f'=0\) et \(f\) est constante sur le connexe \(U\).