Fonctions holomorphes : exercices de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Dérivée de z² par la définition ★★★

Soit \(f(z)=z^2\). Calcule, pour \(z\in\mathbb{C}\) et \(h\neq0\), le quotient \(\dfrac{f(z+h)-f(z)}{h}\), puis détermine \(f'(z)\). Donne enfin \(f'(1+2i)\).

2 Cauchy-Riemann pour le cube ★★★

Soit \(f(x+iy)=(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3)\). Vérifie les équations de Cauchy-Riemann et calcule \(f'(1+i)\).

3 La conjugaison ★★★

Écris \(f(z)=\overline z\) sous la forme \(u+iv\) et montre avec les équations de Cauchy-Riemann qu’elle n’est holomorphe en aucun point.

4 Trois rayons de convergence ★★★

Détermine le rayon de convergence de : a) \(\sum 2^n z^n\) ; b) \(\sum \dfrac{z^n}{n!}\) ; c) \(\sum n z^n\).

5 Deux intégrales sur un cercle ★★★

Paramètre le cercle \(C:|z|=2\) par \(z=2e^{it}\), \(t\in[0,2\pi]\), et calcule \(\oint_C\dfrac{dz}{z}\) et \(\oint_C z^2\,dz\).

6 Formule de Cauchy avec une exponentielle ★★★

Calcule \(I_1=\oint_{|z|=3}\dfrac{e^z}{z-1}\,dz\) et \(I_2=\oint_{|z|=1/2}\dfrac{e^z}{z-1}\,dz\).

7 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant : a) toute fonction entière est un polynôme ; b) \(\sin\) est bornée sur \(\mathbb{C}\) ; c) une fonction holomorphe de dérivée nulle sur un ouvert connexe est constante.

8 Conjuguée harmonique ★★★

Soit \(u(x,y)=e^x\cos y\). Détermine les fonctions \(v\) telles que \(f=u+iv\) soit holomorphe sur \(\mathbb{C}\), puis identifie \(f\).

9 Le module au carré ★★★

Soit \(f(z)=|z|^2\). Montre que \(f\) est \(\mathbb{C}\)-dérivable en \(0\) et en aucun autre point. Est-elle holomorphe quelque part ?

10 Développement de 1/(1+z²) ★★★

Développe \(f(z)=\dfrac{1}{1+z^2}\) en série entière en \(0\). Quel est son rayon de convergence ? Que vaut \(f^{(4)}(0)\) ?

11 Intégrales de 1/(z²+1) ★★★

On a \(\dfrac1{z^2+1}=\dfrac1{2i}\left(\dfrac1{z-i}-\dfrac1{z+i}\right)\). Calcule \(\oint_{|z|=2}\dfrac{dz}{z^2+1}\) et \(\oint_{|z-i|=1/2}\dfrac{dz}{z^2+1}\).

12 Dérivée seconde par Cauchy ★★★

Calcule \(\oint_{|z|=2}\dfrac{\cos z}{z^3}\,dz\).

13 Croissance au plus affine ★★★

Soit \(f\) entière avec \(|f(z)|\leq5+3|z|\) pour tout \(z\). Montre que \(f(z)=\alpha+\beta z\) avec \(|\beta|\leq3\).

14 Zéros de sin et ordre de z − sin z ★★★

a) Détermine les zéros de \(\sin\) dans \(\mathbb{C}\) et leur ordre. b) Quel est l’ordre du zéro de \(z-\sin z\) en \(0\) ?

15 Maximum sur un disque ★★★

a) Détermine le maximum de \(|z^2-1|\) sur \(|z|\leq1\) et les points où il est atteint. b) Détermine le maximum de \(|e^z|\) sur \(|z|\leq2\).

16 Module constant sur le bord ★★★

Soit \(f\) continue sur \(\overline D(0,1)\), holomorphe sur \(D(0,1)\), ne s’annulant pas, avec \(|f(z)|=1\) pour \(|z|=1\). Montre que \(f\) est constante.

17 Zéros qui s’accumulent ★★★

a) Soit \(f\) entière avec \(f(1/n)=0\) pour tout entier \(n\geq1\). Montre que \(f=0\). b) Existe-t-il \(f\) holomorphe sur \(D(0,1)\) avec \(f(1/n)=(-1)^n/n\) pour tout \(n\geq2\) ?

18 Intégrale avec trois termes ★★★

Calcule \(\displaystyle\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z^2(z-2)}\,dz\) à l’aide d’une décomposition en éléments simples, et vérifie la valeur numérique.

19 Partie réelle positive ★★★

Soit \(f\) entière avec \(\operatorname{Re}f(z)\geq0\) pour tout \(z\). Montre que \(f\) est constante.

20 Module constant ★★★

Soit \(f=u+iv\) holomorphe sur un ouvert connexe \(U\) avec \(|f|=c\) constant. Montre que \(f\) est constante en utilisant Cauchy-Riemann.