Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.
1 Tribus et mesures / 3 pts
(a) Atomes : \(\{a\},\{b,c\},\{d,e\}\) (1 pt). Les éléments de \(\mathcal{A}\) sont les réunions d’atomes : \(2^3=8\) éléments (0,5 pt). (b) \(\mu(\{b,c\})=1\) (0,5 pt), \(\mu(\{d,e\})=3\) (0,5 pt), \(\mu(X)=4+1+3=8\) (0,5 pt).
2 Mesure de Lebesgue et ensembles de Cantor / 4 pts
(a) À chaque étape, la longueur totale est multipliée par \(\tfrac45\) : \(\lambda(K_n)=(4/5)^n\) (1 pt). La suite est décroissante avec \(\lambda(K_0)<+\infty\) : \(\lambda(K)=\lim(4/5)^n=0\) (1 pt). (b) \(\lambda(K_3)=\tfrac{64}{125}=0{,}512\) (1 pt). (c) \(\mathbb{Z}\) est dénombrable donc négligeable : \(\lambda([0,3]\setminus\mathbb{Z})=3\) (1 pt).
3 Intégrale et ensembles négligeables / 4 pts
(a) \(\int f=3\times2-1\times3=3\) (2 pts). (b) \(g=f+10\,\mathbf{1}_{\mathbb{Q}\cap[0,5]}-f\mathbf{1}_{\mathbb{Q}\cap[0,5]}\) est somme de fonctions étagées, donc mesurable (1 pt). \(g=f\) presque partout car \(\lambda(\mathbb{Q})=0\), donc \(\int g=3\) (1 pt).
4 Convergence monotone / 4 pts
(a) \(\mathbf{1}_{[1/n,1]}\le\mathbf{1}_{[1/(n+1),1]}\) et \(x^{-1/4}>0\), donc croissante ; limite \(x^{-1/4}\) sur \(]0,1]\) (1 pt). (b) \(\int f_n=\int_{1/n}^1x^{-1/4}dx=\tfrac43\big(1-n^{-3/4}\big)\) (1,5 pt). (c) Par convergence monotone, la limite est \(\tfrac43\) (1,5 pt).
5 Convergence dominée / 3 pts
Limite simple : \(e^{-3x}e^{x}=e^{-2x}\) (1 pt). Domination : \((1+\tfrac xn)^n\le e^x\), donc l’intégrande est majoré par \(e^{-2x}\), intégrable (1 pt). Limite \(=\int_0^{+\infty}e^{-2x}dx=\tfrac12\) (1 pt).
6 Lemme de Fatou / 2 pts
\(\int f_n=2\), \(\liminf f_n=0\) donc \(\int\liminf f_n=0<2\) : Fatou est strict (1 pt). Une fonction dominante intégrable \(g\) devrait majorer \(\mathbf{1}_{[1,+\infty[}\), ce qui est impossible : pas de domination (1 pt).
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