Intégrales à paramètres et Fubini : corrigé du contrôle de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Fonction Gamma / 3 pts

(a) \(\Gamma(5)=4!=24\). (1 pt)

(b) \(\Gamma(\tfrac72)=\tfrac52\cdot\tfrac32\cdot\tfrac12\cdot\Gamma(\tfrac12)=\dfrac{15\sqrt\pi}{8}\). (1 pt)

(c) Avec \(u=2t\) : \(\int_0^{+\infty}t^4e^{-2t}dt=\dfrac{\Gamma(5)}{2^5}=\dfrac{24}{32}=\dfrac34\). (1 pt)

2 Intégrale à paramètre / 4 pts

(a) Soit \(M>0\). Pour \(x\in[-M,M]\) et \(t\in[0,1]\), \(0(2 pts)

(b) \(\dfrac{\partial}{\partial x}e^{xt}=te^{xt}\), majoré par \(e^M\) pour \(x\in[-M,M]\), intégrable sur \([0,1]\). Donc \(G\in C^1\) et \(G'(x)=\int_0^1te^{xt}dt\). (1 pt) En particulier \(G'(0)=\int_0^1t\,dt=\dfrac12\). (1 pt)

3 Inversion d’ordre / 3 pts

Le domaine est \(\{0\le x\le2,\ \tfrac x2\le y\le1\}=\{0\le y\le1,\ 0\le x\le2y\}\) ; l’intégrande est continue sur ce compact. (1 pt)

Par Fubini, \(I=\int_0^1e^{y^2}\Big(\int_0^{2y}dx\Big)dy=\int_0^12y\,e^{y^2}dy\). (1 pt)

\(I=\big[e^{y^2}\big]_0^1=e-1\). (1 pt)

4 Coordonnées polaires / 4 pts

(a) Passage en polaires avec \(dx\,dy=r\,dr\,d\theta\) : (1 pt) \(\iint_{D_R}=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^Rre^{-r^2}dr\,d\theta\) (1 pt) \(=2\pi\Big[-\tfrac12e^{-r^2}\Big]_0^R=\pi\big(1-e^{-R^2}\big)\). (1 pt)

(b) Quand \(R\to+\infty\), la limite vaut \(\pi\) ; par convergence monotone, c’est \(\iint_{\mathbb R^2}e^{-(x^2+y^2)}=\Big(\int_{\mathbb R}e^{-x^2}dx\Big)^2\), d’où \(\int_{\mathbb R}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi\). (1 pt)

5 Probabilité par intégrale double / 3 pts

(a) La loi conjointe a pour densité \(1\) sur \([0,1]^2\), donc \(P(X+Y\le\tfrac32)=\iint_{[0,1]^2}\mathbf 1_{x+y\le3/2}\,dx\,dy\). (1 pt)

(b) Par Tonelli, pour \(x\) fixé, la longueur des \(y\in[0,1]\) avec \(y\le\tfrac32-x\) vaut \(1\) si \(x\le\tfrac12\) et \(\tfrac32-x\) si \(x\ge\tfrac12\). (1 pt) Donc \(P=\int_0^{1/2}dx+\int_{1/2}^1\big(\tfrac32-x\big)dx=\dfrac12+\dfrac38=\dfrac78\). (1 pt)

6 Questions de cours / 3 pts

(a) Oui : c’est le théorème de Tonelli (positivité et mesurabilité suffisent, les valeurs \(+\infty\) sont admises). (1 pt)

(b) Non : \(\int_0^1t^{-1}e^{-t}dt\) diverge, car l’intégrande est équivalent à \(\tfrac1t\) en \(0\). (1 pt)

(c) Oui : pour \(x>0\), \(\int_0^{+\infty}e^{-xt}dt=\dfrac1x\), continue sur \(]0,+\infty[\) ; sur \([a,+\infty[\) avec \(a>0\), la domination par \(e^{-at}\) le confirme aussi. (1 pt)