Espaces complets et point fixe : exercices corrigés de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Rang de Cauchy pour 1/n ★★★

Pour \( p,q\geq N \), les deux nombres \( \dfrac1p \) et \( \dfrac1q \) sont dans \( ]0,\dfrac1N] \), donc leur différence est en valeur absolue strictement inférieure à \( \dfrac1N \). Pour \( \varepsilon>0 \), il suffit de prendre \( N\geq\dfrac1\varepsilon \) : la suite est de Cauchy.

Pour \( 10^{-3} \) : \( N=1000 \) convient, car \( |u_p-u_q|<\dfrac1{1000} \).

2 Vrai ou faux sur les suites de Cauchy ★★★

1. Vrai : \( d(x_p,x_q)\leq d(x_p,\ell)+d(\ell,x_q) \), qui est petit.
2. Faux : \( u_n=(-1)^n \) est bornée, mais \( |u_{n+1}-u_n|=2 \) pour tout \( n \).
3. Faux : la suite de Newton \( 1,\tfrac32,\tfrac{17}{12},\dots \) est de Cauchy et converge vers \( \sqrt2\notin\mathbb{Q} \).
4. Vrai : si \( u_{\varphi(n)}\to\ell \), on écrit \( d(u_n,\ell)\leq d(u_n,u_{\varphi(n)})+d(u_{\varphi(n)},\ell) \), deux termes qui tendent vers 0.

3 Une somme géométrique ★★★

On a \( u_n=1-2^{-n} \), donc pour \( q>p \) : \( u_q-u_p=2^{-p}-2^{-q}\in]0,2^{-p}[ \).

On cherche \( 2^N\geq10^4 \). Comme \( 2^{13}=8192<10^4 \) et \( 2^{14}=16384\geq10^4 \), le plus petit rang est \( N=14 \). Ainsi \( |u_q-u_p|<10^{-4} \) dès que \( p\geq14 \).

4 Contraction affine ★★★

\( |f(x)-f(y)|=\dfrac13|x-y| \) : \( f \) est \( \dfrac13 \)-contractante sur \( \mathbb{R} \) complet. Le point fixe vérifie \( x=\dfrac x3+2 \), donc \( x^*=3 \).

Comme \( x_{n}-3=\dfrac13(x_{n-1}-3) \), on a \( |x_n-3|=3\cdot3^{-n}=3^{1-n} \). On veut \( 3^{n-1}>1000 \) ; \( 3^6=729 \) ne suffit pas, \( 3^7=2187 \) oui. Donc \( n-1\geq7 \) : \( n=8 \).

5 Norme du sup sur [0,1] ★★★

\( f(x)=\dfrac14-\left(x-\dfrac12\right)^2 \) est maximale en \( \dfrac12 \) : \( \|f\|_\infty=\dfrac14 \).

\( h=f-g=\dfrac{3x}4-x^2 \). Son maximum est en \( x=\dfrac38 \) : \( h=\dfrac9{64} \). Mais en \( x=1 \), \( h(1)=-\dfrac14 \), et \( \dfrac14>\dfrac9{64} \). Donc \( \|f-g\|_\infty=\dfrac14 \).

6 Complet ou non ? ★★★

\( \mathbb{R} \) : oui. \( [0,1] \) : oui, fermé de \( \mathbb{R} \). \( \mathbb{Z} \) : oui, une suite de Cauchy y est stationnaire (distance entre deux termes distincts au moins 1). \( \mathbb{Q} \) : non (suite de Newton vers \( \sqrt2 \)). \( ]0,1[ \) : non (\( \tfrac1n \) est de Cauchy et tend vers \( 0\notin]0,1[ \)).

7 Une racine itérée ★★★

\( f \) est croissante, \( f(0)=\sqrt2\) et \( f(2)=2 \), donc \( f(X)=[\sqrt2,2]\subset X \).

\( f'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x+2}}\leq\dfrac1{2\sqrt2}\approx0{,}354=k<1 \) sur \( X \). Par Banach-Picard, il y a un unique point fixe : \( x=\sqrt{x+2}\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x^*=2 \) (l’autre racine \( -1 \) n’est pas dans \( X \)).

8 Résoudre e^(-x) = x par itération ★★★

\( f \) est décroissante : \( f(X)=[e^{-0{,}7},e^{-0{,}4}]\approx[0{,}4966;0{,}6703]\subset X \). De plus \( |f'(x)|=e^{-x}\leq e^{-0{,}4}\approx0{,}6703=k \).

\( x_1=e^{-0{,}5}\approx0{,}6065 \), \( d(x_0,x_1)\approx0{,}1065 \). On cherche \( \dfrac{k^n}{1-k}\times0{,}1065\leq10^{-3} \). Le plus petit entier convenable est \( n=15 \). Le point fixe vaut environ \( 0{,}5671 \).

9 Un point fixe qui n’existe pas ★★★

\( f(x)-f(y)=(x-y)\left(1-\dfrac1{xy}\right) \). Pour \( x\neq y \) dans \( X \), \( xy>1 \), donc le facteur est dans \( ]0,1[ \) : l’inégalité stricte est vraie.

\( f(x)=x\iff\dfrac1x=0 \), impossible : pas de point fixe. Le théorème exige un rapport \( k<1 \) uniforme ; ici \( \sup_{x\neq y}\left(1-\dfrac1{xy}\right)=1 \) (prendre \( x,y \) grands) : \( f \) n’est pas contractante.

10 Un système linéaire par itération ★★★

1. \( \|AX\|_\infty\leq\max(0{,}2+0{,}1;\,0{,}3+0{,}4)\|X\|_\infty=0{,}7\|X\|_\infty \) : somme maximale des lignes \( =0{,}7 \).
2. \( (I-A)X=B \) donne \( 0{,}8x-0{,}1y=1 \) et \( -0{,}3x+0{,}6y=2 \). Déterminant \( 0{,}48-0{,}03=0{,}45 \). Alors \( x=\dfrac{16}{9} \), \( y=\dfrac{38}{9} \). Vérification : \( 0{,}2\cdot\dfrac{16}9+0{,}1\cdot\dfrac{38}9+1=\dfrac{16}9 \).
3. \( X_1=(1,2) \), \( \|X_1-X_0\|=2 \). On cherche \( \dfrac{0{,}7^n}{0{,}3}\cdot2\leq0{,}01 \) : le plus petit entier est \( n=19 \).

11 x puissance n n’est pas de Cauchy ★★★

On pose \( t=x^n\in[0,1] \) : \( f_n(x)-f_{2n}(x)=t-t^2 \), dont le maximum sur \( [0,1] \) est \( \dfrac14 \) en \( t=\dfrac12 \), atteint pour \( x=2^{-1/n} \). Donc \( \|f_{2n}-f_n\|_\infty=\dfrac14 \) pour tout \( n \).

La suite n’est pas de Cauchy (la quantité ne tend pas vers 0), ce qui est cohérent avec l’absence de limite uniforme : la limite simple est discontinue en 1.

12 Une équation intégrale ★★★

\( |T\varphi(x)-T\psi(x)|\leq\dfrac13\int_0^1 x\,t\,|\varphi-\psi|\,dt\leq\dfrac13\cdot\dfrac12\|\varphi-\psi\|_\infty \), donc \( T \) est \( \dfrac16 \)-contractant sur le Banach \( C([0,1]) \) : solution unique.

On cherche \( \varphi(x)=x(1+c) \) avec \( c=\dfrac13\int_0^1t\varphi(t)dt=\dfrac{1+c}{3}\cdot\dfrac13=\dfrac{1+c}9 \), donc \( c=\dfrac18 \) et \( \varphi(x)=\dfrac{9x}8 \). Vérification : \( T\varphi(x)=x+\dfrac x3\cdot\dfrac98\cdot\dfrac13=\dfrac{9x}8 \).

13 Baire et point isolé ★★★

Supposons \( X=\{x_0,x_1,\dots\} \) dénombrable. Chaque singleton \( \{x_n\} \) est fermé ; il est d’intérieur vide car \( x_n \) n’est pas isolé (aucune boule n’est réduite à \( x_n \)). Alors \( X \) est réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide, ce qui contredit le théorème de Baire (\( X \) complet non vide). Donc \( X \) n’est pas dénombrable.

14 Famille lipschitzienne ★★★

Par les accroissements finis, \( |f(x)-f(y)|\leq5|x-y| \) pour tout \( f\in A \). Pour \( \varepsilon=0{,}1 \), \( \delta=\dfrac{\varepsilon}5=0{,}02 \) convient pour toutes les fonctions de \( A \) à la fois.

\( A \) est bornée (par 3) et équicontinue ; \( [0,1] \) est compact, donc \( A \) est relativement compacte dans \( C([0,1]) \) : toute suite de \( A \) a une sous-suite qui converge uniformément.

15 L’opérateur de Volterra ★★★

1. \( |V\varphi-V\psi|(x)\leq x\|\varphi-\psi\|_\infty\leq\|\varphi-\psi\|_\infty \). Avec \( \varphi=1,\psi=0 \), \( \|V\varphi-V\psi\|=1=\|\varphi-\psi\| \) : le rapport 1 est atteint.
2. Pour \( n=1 \) c’est (a). Si c’est vrai au rang \( n \), \( |V^{n+1}\varphi-V^{n+1}\psi|(x)\leq\int_0^x\dfrac{t^n}{n!}dt\,\|\varphi-\psi\|=\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\|\varphi-\psi\| \).
3. Pour \( n=2 \), \( \dfrac1{2!}=\dfrac12<1 \) : \( V^2 \) est contractant, donc \( V \) a un unique point fixe, par la variante du chapitre. Il vérifie \( \varphi'=\varphi \), \( \varphi(0)=1 \) : \( \varphi(x)=e^x \).
4. \( \varphi_5(x)=\sum_{k=0}^5\dfrac{x^k}{k!} \), donc \( \varphi_5(1)\approx2{,}71667 \) et \( e-\varphi_5(1)\approx0{,}0016 \), soit environ \( 1{,}6\times10^{-3} \).

16 Dimension infinie et Baire ★★★

Supposons que \( (e_n) \) soit une base algébrique. Posons \( F_n=\mathrm{Vect}(e_1,\dots,e_n) \). Alors \( E=\bigcup_nF_n \).

Chaque \( F_n \) est de dimension finie, donc fermé ; il est strictement inclus dans \( E \) (dimension infinie) et c’est un sous-espace propre : il est d’intérieur vide (s’il contenait une boule, il contiendrait \( E \) par homothétie et translation). Cela contredit le théorème de Baire.

17 Newton pour √7 ★★★

\( g \) a pour minimum \( \sqrt7\approx2{,}6458 \) ; \( g(2)=2{,}75 \), \( g(3)\approx2{,}6667 \), donc \( g(X)=[\sqrt7,2{,}75]\subset X \).

\( g'(x)=\dfrac12\left(1-\dfrac7{x^2}\right) \) est croissante de \( g'(2)=-\dfrac38 \) à \( g'(3)=\dfrac19 \) : \( |g'|\leq\dfrac38=k \). Le point fixe vérifie \( x^2=7 \), donc \( x^*=\sqrt7 \).

\( x_1=\dfrac{8}{3}\approx2{,}66667 \), \( x_2\approx2{,}64583 \), \( x_3\approx2{,}645751 \) (valeur exacte de \( \sqrt7\approx2{,}645751 \)).

18 Aucune sous-suite convergente ★★★

1. Toute sous-suite converge simplement vers la fonction qui vaut 0 sur \( [0,1[ \) et 1 en \( 1 \), discontinue. Une limite uniforme de fonctions continues serait continue : contradiction.
2. \( g_n'(x)=x^{n-1} \) donc \( |g_n(x)-g_n(y)|\leq|x-y| \) : \( \delta=\varepsilon \) convient pour tout \( n \). Et \( \|g_n\|_\infty=\dfrac1n\to0 \) : convergence uniforme vers 0, conformément à Ascoli (famille bornée et équicontinue).

19 L1 n’est pas complet ★★★

Pour \( m>n \), \( f_m\geq f_n \). Donc \( \|f_m-f_n\|_1=\int f_m-\int f_n \). Or \( \int_0^1f_n=\dfrac12-\dfrac1{2n} \) (l’aire sous le plateau vaut \( \tfrac12 \), moins le triangle \( \tfrac1{2n} \)). Ainsi \( \|f_m-f_n\|_1=\dfrac1{2n}-\dfrac1{2m}<\dfrac1{2n} \) : suite de Cauchy.

Si \( f_n\to f \) avec \( f \) continue, alors \( f=0 \) sur \( [0,\tfrac12[ \) et \( f=1 \) sur \( ]\tfrac12,1] \) presque partout, donc par continuité \( f(\tfrac12)=0 \) et \( f(\tfrac12)=1 \) : absurde. L’espace n’est pas complet.

20 Picard pour y’ = t y ★★★

\( |T\varphi-T\psi|(t)\leq\int_0^ts\,ds\,\|\varphi-\psi\|=\dfrac{t^2}2\|\varphi-\psi\|\leq\dfrac12\|\varphi-\psi\| \).

\( \varphi_1=1+\dfrac{t^2}2 \), \( \varphi_2=1+\dfrac{t^2}2+\dfrac{t^4}8 \). En \( t=1 \) : \( \varphi_2(1)=1{,}625 \) et \( e^{1/2}\approx1{,}6487 \), écart \( \approx0{,}0237 \).

Majoration : \( \|\varphi_1-\varphi_0\|=\dfrac12 \), donc \( \|\varphi_2-\varphi\|\leq\dfrac{(1/2)^2}{1/2}\cdot\dfrac12=\dfrac14 \). L’écart observé \( 0{,}0237 \) est bien inférieur à \( 0{,}25 \).

21 Distance au point fixe ★★★

\( d(x,x^*)\leq d(x,f(x))+d(f(x),f(x^*))\leq d(x,f(x))+k\,d(x,x^*) \), donc \( (1-k)d(x,x^*)\leq d(x,f(x)) \).

Ici \( k=\dfrac13 \), \( d(0,f(0))=2 \) : borne \( \dfrac{2}{2/3}=3 \). La distance réelle est \( |0-3|=3 \) : la majoration est optimale pour cette application.