Espaces complets et point fixe : corrigé du contrôle de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Suite de Cauchy / 4 pts

\( \dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1} \) : somme télescopique, \( v_n=1-\dfrac1{n+1} \). (1 pt)

Pour \( q>p \), \( v_q-v_p=\dfrac1{p+1}-\dfrac1{q+1}\in\left]0,\dfrac1{p+1}\right[ \) : de Cauchy. (1 pt)

\( N=999 \) donne \( \dfrac1{N+1}=10^{-3} \), donc \( |v_q-v_p|<10^{-3} \) pour \( p,q\geq999 \). (1 pt)

Limite : \( 1 \) (et \( 1\in\mathbb{Q} \)). (1 pt)

2 Un point fixe par contraction / 4 pts

\( f \) est décroissante : \( f(X)=\left[\dfrac1{4+1/16},\dfrac14\right]\approx[0{,}2462;0{,}25]\subset X \). (1 pt)

\( |f'(x)|=\dfrac{2x}{(4+x^2)^2}\leq\dfrac{2\cdot\frac14}{16}=\dfrac1{32} \) sur \( X \), donc \( \tfrac18 \) convient a fortiori. (1 pt)

\( x=f(x)\iff x(4+x^2)=1\iff x^3+4x-1=0 \), racine unique \( x^*\approx0{,}24627 \). (1 pt)

\( x_1=\tfrac14 \), \( d(x_0,x_1)=\tfrac14 \). On veut \( \dfrac{8^{-n}}{7/8}\cdot\dfrac14\leq10^{-6} \), c’est-à-dire \( 8^n\geq285\,715 \) : \( n=7 \). (1 pt)

3 Baire et les rationnels / 4 pts

Supposons \( \mathbb{Q}=\bigcap_nO_n \) ; chaque \( O_n \) contient \( \mathbb{Q} \), donc est un ouvert dense. (1 pt)

Énumérons \( \mathbb{Q}=\{q_k\} \) et posons \( U_k=\mathbb{R}\setminus\{q_k\} \), ouvert dense. (1 pt)

Les \( O_n \) et \( U_k \) forment une famille dénombrable d’ouverts denses de \( \mathbb{R} \) complet. Par Baire, leur intersection est dense, donc non vide. (1 pt)

Mais un point de cette intersection est dans \( \bigcap O_n=\mathbb{Q} \) et dans tous les \( U_k \), donc n’est aucun \( q_k \) : absurde. (1 pt)

4 Ascoli / 4 pts

(a) \( |a\sin(bx)|\leq2 \) et \( |(a\sin bx)'|=|ab\cos bx|\leq6 \) : bornée et 6-lipschitzienne donc équicontinue (\( \delta=\varepsilon/6 \)). (1 pt) Par Ascoli, relativement compacte. (1 pt)

(b) Pour \( x_n=\dfrac\pi{2n} \) et \( y=0 \), \( |\sin(nx_n)-\sin 0|=1 \) alors que \( |x_n-y|\to0 \) : la famille n’est pas équicontinue. (1 pt) Si une sous-suite \( (\sin(n_kx)) \) convergeait uniformément vers une limite continue, elle serait équicontinue (une suite uniformément convergente de fonctions continues sur un compact l’est). Or avec \( x=\dfrac\pi{2n_k} \) et \( y=0 \) on trouve encore l’écart 1 pour \( n_k\to\infty \) : contradiction, aucune sous-suite ne converge uniformément. (1 pt)

5 Picard pour y’ = 2y / 4 pts

\( |T\varphi-T\psi|(t)\leq2t\|\varphi-\psi\|\leq\dfrac12\|\varphi-\psi\| \) pour \( t\leq\tfrac14 \). (1 pt)

\( \varphi_1=1+2t \), \( \varphi_2=1+2t+2t^2 \). (1 pt)

\( \varphi_2(\tfrac14)=1+\tfrac12+\tfrac18=1{,}625 \), \( e^{1/2}\approx1{,}6487 \). (1 pt)

Majoration : \( \|\varphi_2-\varphi\|\leq\dfrac{(1/2)^2}{1/2}\cdot\dfrac12=\dfrac14 \) ; l’écart \( 0{,}0237 \) est compatible. (1 pt)