Tous les dessins de géométrie se construisent avec les mêmes briques : des points, des droites, des segments… Dans ce chapitre, tu apprends à les nommer sans te tromper, à les tracer proprement avec la règle et l’équerre, puis à reconnaître deux relations essentielles : être perpendiculaire et être parallèle. Tu termineras avec la médiatrice d’un segment.
1. Point, droite, demi-droite et segment
Pour que tout le monde se comprenne, on nomme chaque objet avec des lettres majuscules et on utilise des notations précises.
- Un point se marque par une petite croix fine et se nomme par une majuscule : \( A \), \( B \)…
- La droite \( (AB) \) passe par \( A \) et \( B \). Elle est illimitée des deux côtés : elle n’a ni début, ni fin, ni longueur.
- La demi-droite \( [AB) \) commence en \( A \) (son origine), passe par \( B \) et continue sans fin.
- Le segment \( [AB] \) est la partie de droite limitée par ses deux extrémités \( A \) et \( B \). Sa longueur se note \( AB \).
| Objet | Notation | Extrémités | Longueur mesurable |
|---|---|---|---|
| Droite | \( (AB) \) | aucune | non |
| Demi-droite | \( [AB) \) | une (l’origine) | non |
| Segment | \( [AB] \) | deux | oui : \( AB \) |
Les demi-droites \( [AB) \) et \( [BA) \) n’ont pas la même origine : ce sont deux demi-droites différentes. En revanche, \( (AB) = (BA) \) et \( [AB] = [BA] \) : pour une droite ou un segment, l’ordre des lettres n’a pas d’importance.
2. Tracés à la règle
Un bon tracé commence par un crayon bien taillé et une règle qui ne bouge pas. Un trait fin se voit mieux et reste précis.
- Place les deux points avec de petites croix.
- Pose la règle pour que son bord passe exactement par les deux croix, puis maintiens-la fermement.
- Trace un trait continu le long du bord. Pour un segment, arrête-toi pile sur les extrémités. Pour une demi-droite, pars de l’origine et dépasse l’autre point. Pour une droite, dépasse des deux côtés.
- Écris le nom de l’objet près du trait.
On veut tracer \( [EF] \) tel que \( EF = 6{,}5 \text{ cm} \). On place \( E \), on pose le zéro de la règle exactement sur \( E \), on repère la graduation \( 6{,}5 \) et on marque \( F \) à cet endroit. On relie ensuite \( E \) et \( F \) et on écrit \( EF = 6{,}5 \text{ cm} \).
3. Alignement et appartenance
Quand un point est situé sur une droite, on dit qu’il appartient à cette droite. On écrit \( A \in (d) \). Si le point n’est pas sur la droite, on écrit \( D \notin (d) \). Le symbole \( \in \) s’utilise entre un point et une ligne, jamais entre deux droites.
Des points sont alignés lorsqu’ils appartiennent à une même droite : on peut alors poser la règle une seule fois pour tous les toucher.
- Pose le bord de la règle sur deux des points.
- Regarde si le troisième point touche le bord de la règle.
- Conclus : s’il le touche, les trois points sont alignés ; sinon, ils ne le sont pas.
Si le point \( B \) est situé sur le segment \( [AC] \), alors \( AC = AB + BC \).
Les points \( A \), \( B \) et \( C \) sont alignés, avec \( B \) entre \( A \) et \( C \). On a \( AB = 3{,}4 \text{ cm} \) et \( BC = 2{,}9 \text{ cm} \). Alors \( AC = 3{,}4 + 2{,}9 = 6{,}3 \text{ cm} \).
Autre cas : \( I \in [MN] \), \( MN = 9 \text{ cm} \) et \( MI = 5{,}5 \text{ cm} \). Alors \( IN = 9 - 5{,}5 = 3{,}5 \text{ cm} \).
4. Droites perpendiculaires
Deux droites qui se croisent en un seul point sont dites sécantes. Parmi elles, certaines se croisent d’une façon très particulière.
Deux droites sont perpendiculaires lorsqu’elles se coupent en formant un angle droit. Elles forment alors quatre angles droits. On écrit \( (d) \perp (d’) \). On code l’angle droit par un petit carré.
Par un point donné, il passe une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.
Deux droites peuvent sembler perpendiculaires sans l’être vraiment. Pour en être sûr, on vérifie toujours avec l’équerre. Le mot perpendiculaire s’emploie aussi pour des segments et des demi-droites : cela veut dire que les droites qui les portent sont perpendiculaires.
5. Utilisation de l’équerre
L’équerre est un triangle plastique qui possède un angle droit. Elle sert à vérifier qu’un angle est droit et à tracer des perpendiculaires. Pour vérifier que \( (d) \perp (d’) \), on place le sommet de l’angle droit au point d’intersection, un côté sur \( (d) \) : l’autre côté doit recouvrir \( (d’) \).
- Place un côté de l’angle droit de l’équerre le long de la droite \( (d) \).
- Fais glisser l’équerre le long de \( (d) \) jusqu’à ce que l’autre côté de l’angle droit touche le point \( M \).
- Trace au crayon le long de ce côté, en passant par \( M \) et en dépassant de part et d’autre.
- Code l’angle droit avec un petit carré.
Si \( M \) est déjà sur \( (d) \), on place directement le sommet de l’angle droit en \( M \).
Tu as oublié ton équerre ? Le coin d’une feuille de papier bien rectangulaire est un angle droit : il peut la remplacer pour un contrôle rapide.
6. Droites parallèles
Deux droites distinctes sont parallèles lorsqu’elles ne se coupent jamais, même si on les prolonge très loin. On écrit \( (d) \parallel (d’) \). Elles gardent toujours le même écartement : la distance qui les sépare est la même partout.
- Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.
- Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre.
Deux droites qui ne se croisent pas sur ta feuille ne sont pas forcément parallèles : elles peuvent se rencontrer plus loin. Pour être sûr, il faut une propriété, ou un écartement identique mesuré en plusieurs endroits.
7. Tracer une parallèle
- Avec l’équerre, trace la perpendiculaire \( (t) \) à \( (d) \) passant par \( A \).
- Toujours avec l’équerre, trace la perpendiculaire \( (p) \) à \( (t) \) passant par \( A \).
- Conclus : \( (p) \) et \( (d) \) sont perpendiculaires à la même droite \( (t) \), donc elles sont parallèles.
On sait que \( (d_1) \perp (d_2) \) et \( (d_3) \perp (d_2) \). Les droites \( (d_1) \) et \( (d_3) \) sont perpendiculaires à la même droite \( (d_2) \), donc \( (d_1) \parallel (d_3) \).
On ajoute que \( (d_4) \perp (d_1) \). Comme \( (d_1) \parallel (d_3) \), la droite \( (d_4) \) est aussi perpendiculaire à \( (d_3) \).
8. Médiatrice d’un segment
Le milieu \( I \) d’un segment \( [AB] \) est le point du segment tel que \( AI = IB \), c’est-à-dire \( AI = AB \div 2 \). La médiatrice de \( [AB] \) est la droite perpendiculaire à \( [AB] \) qui passe par son milieu \( I \).
Tout point \( M \) de la médiatrice de \( [AB] \) est à la même distance de \( A \) et de \( B \) : \( MA = MB \). Réciproquement, un point situé à la même distance de \( A \) et de \( B \) est sur la médiatrice.
- Mesure \( AB \) et calcule \( AB \div 2 \).
- Marque le milieu \( I \) à cette distance de \( A \).
- Avec l’équerre, trace la perpendiculaire à \( (AB) \) passant par \( I \).
Au compas : on ouvre le compas un peu plus que la moitié de \( AB \), on trace deux arcs de même rayon centrés en \( A \) et en \( B \) ; ils se coupent en deux points. La droite qui passe par ces deux points est la médiatrice.
Si \( AB = 7{,}4 \text{ cm} \), le milieu \( I \) est tel que \( AI = 7{,}4 \div 2 = 3{,}7 \text{ cm} \). Si \( M \) est sur la médiatrice et \( MA = 5{,}2 \text{ cm} \), alors \( MB = 5{,}2 \text{ cm} \).
À retenir
- \( (AB) \) est une droite, \( [AB) \) une demi-droite d’origine \( A \), \( [AB] \) un segment de longueur \( AB \).
- Des points sont alignés s’ils sont sur une même droite ; si \( B \in [AC] \), alors \( AC = AB + BC \).
- Deux droites perpendiculaires forment quatre angles droits ; on les trace et on les vérifie avec l’équerre.
- Deux droites parallèles ne se coupent pas et ont le même écartement partout.
- Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
- La médiatrice de \( [AB] \) est la perpendiculaire à \( [AB] \) passant par son milieu ; ses points sont à égale distance de \( A \) et de \( B \).
