Droites, perpendiculaires et parallèles : exercices de maths 6ème

1 Écrire avec les notations ★★★

Écris chaque phrase avec les notations de la géométrie.

1. La droite passant par \( E \) et \( F \).
2. La demi-droite d’origine \( G \) passant par \( H \).
3. Le segment d’extrémités \( K \) et \( L \).
4. Le point \( M \) appartient à la droite \( (d) \).
5. Le point \( N \) n’appartient pas au segment \( [KL] \).

2 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie.

1. La droite \( (AB) \) mesure 5 cm.
2. Les segments \( [AB] \) et \( [BA] \) sont identiques.
3. Les demi-droites \( [AB) \) et \( [BA) \) sont identiques.
4. Le point \( B \) appartient à la demi-droite \( [AB) \).

3 Dedans ou dehors ? ★★★

Observe la droite \( (d) \) et recopie en complétant avec \( \in \) ou \( \notin \).

\( A \dots (d) \) ; \( B \dots (d) \) ; \( C \dots (d) \) ; \( D \dots (d) \) ; \( E \dots (d) \).

4 Perpendiculaires et parallèles dans un rectangle ★★★

Le quadrilatère \( ABCD \) ci-dessous a quatre angles droits.

Cite quatre paires de droites perpendiculaires et deux paires de droites parallèles.

5 Longueurs sur une droite ★★★

Les points \( A \), \( B \) et \( C \) sont alignés dans cet ordre, avec \( AB = 4{,}2 \text{ cm} \) et \( BC = 3{,}5 \text{ cm} \).

1. Calcule \( AC \).
2. Le point \( D \) est sur \( [AC] \) avec \( AD = 5{,}1 \text{ cm} \). Calcule \( DC \).

6 Même perpendiculaire ★★★

Les droites \( (d_1) \) et \( (d_2) \) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite \( (d_3) \). Que peux-tu dire de \( (d_1) \) et \( (d_2) \) ? Justifie.

7 Décrire un tracé ★★★

Le point \( M \) n’est pas sur la droite \( (d) \). Décris, étape par étape, comment tracer à l’équerre la perpendiculaire à \( (d) \) passant par \( M \).

8 Lire des points alignés ★★★

Dans le quadrillage, un carreau représente 1 cm.

1. Lis les coordonnées des six points.
2. Quels points sont alignés avec \( A \) et \( B \) ?
3. Le point \( G(9\,;\,5) \) est-il sur la droite \( (AB) \) ? Explique en repérant comment on passe de \( A \) à \( B \).

9 Chaîne de perpendiculaires et parallèles ★★★

On sait que \( (d_1) \perp (d_2) \), que \( (d_2) \parallel (d_3) \) et que \( (d_4) \perp (d_3) \).

1. Quelle est la position de \( (d_1) \) et \( (d_3) \) ?
2. Quelle est la position de \( (d_1) \) et \( (d_4) \) ?
3. Quelle est la position de \( (d_2) \) et \( (d_4) \) ?

Justifie chaque réponse.

10 Vrai ou faux avec justification ★★★

Réponds par vrai ou faux et justifie.

1. Deux droites perpendiculaires ont toujours un point commun.
2. Deux droites parallèles distinctes ont un point commun.
3. Si deux droites ne sont pas parallèles, alors elles sont perpendiculaires.
4. Par un point extérieur à une droite, il passe une seule parallèle à cette droite.

11 Un programme de construction ★★★

Exécute ce programme sur ta feuille.

1. Trace un segment \( [AB] \) de 8 cm.
2. Place le point \( C \) sur \( [AB] \) tel que \( AC = 3 \text{ cm} \).
3. Trace la droite \( (d) \) perpendiculaire à \( (AB) \) passant par \( C \).
4. Place le point \( D \) sur \( (d) \), à 4 cm de \( C \), au-dessus de \( (AB) \).
5. Trace la droite \( (d’) \) parallèle à \( (AB) \) passant par \( D \).
6. Place le point \( E \) sur \( (d’) \) tel que \( DE = 5 \text{ cm} \).

a) Calcule \( CB \). b) Quelle est la position de \( (d) \) et \( (d’) \) ? c) À quelle distance de \( (AB) \) se trouve le point \( E \) ?

12 Sur le terrain de basket ★★★

Sur un terrain de basket de 28 m sur 15 m, les deux lignes de touche \( (t_1) \) et \( (t_2) \) sont perpendiculaires à la ligne de fond \( (f) \). La ligne médiane \( (m) \) est parallèle à \( (f) \).

1. Quelle est la position de \( (t_1) \) et \( (t_2) \) ?
2. Quelle est la position de \( (m) \) et \( (t_1) \) ?
3. Les lignes de touche sont à 15 m l’une de l’autre le long de \( (f) \). Quelle est cette distance le long de \( (m) \) ?

13 Médiatrice et distances ★★★

On trace un segment \( [EF] \) de 7 cm et sa médiatrice \( (\Delta) \), qui coupe \( [EF] \) en \( I \).

1. Calcule \( EI \) et précise l’angle formé par \( (\Delta) \) et \( (EF) \).
2. Le point \( M \) est sur \( (\Delta) \) et \( ME = 4{,}6 \text{ cm} \). Que vaut \( MF \) ?
3. Le point \( N \) vérifie \( NE = 3 \text{ cm} \) et \( NF = 5 \text{ cm} \). Est-il sur \( (\Delta) \) ?

14 Qui a raison ? ★★★

Elias affirme : « Mes deux droites ne se croisent pas sur ma feuille, donc elles sont parallèles. » Sofia affirme : « Pour vérifier que deux droites sont parallèles, je mesure l’écartement en un seul endroit : 3 cm. »

Ces raisonnements sont-ils corrects ? Propose une meilleure méthode.

15 Démontrer des parallèles ★★★

Le quadrilatère \( ABCD \) a quatre angles droits (en \( A \), \( B \), \( C \) et \( D \)).

1. Montre que \( (AB) \parallel (DC) \).
2. Montre que \( (AD) \parallel (BC) \).
3. Une droite \( (d) \) est perpendiculaire à \( (AB) \). Que dire de \( (d) \) et \( (AD) \) ?

16 Escalier de droites ★★★

On trace cinq droites telles que \( (d_1) \perp (d_2) \), \( (d_2) \perp (d_3) \), \( (d_3) \perp (d_4) \) et \( (d_4) \perp (d_5) \).

Détermine la position de : a) \( (d_1) \) et \( (d_3) \) ; b) \( (d_1) \) et \( (d_4) \) ; c) \( (d_1) \) et \( (d_5) \) ; d) \( (d_2) \) et \( (d_4) \). Justifie.

17 Problème de la citerne ★★★

Dans un quadrillage de 1 cm de côté, deux fermes \( A(1\,;\,1) \) et \( B(7\,;\,1) \) sont reliées par un segment. Une route passe par les points \( (1\,;\,4) \), \( (4\,;\,3) \) et \( (7\,;\,2) \). Un camion doit s’arrêter sur la route, à égale distance des deux fermes.

1. Quelle droite faut-il tracer ? Précise si elle est verticale ou horizontale et où elle passe.
2. Lis les coordonnées du point \( P \) où le camion doit s’arrêter.
3. Vérifie à la règle que \( PA \) et \( PB \) sont égales (environ 3,6 cm).

18 Vrai ou faux, niveau expert ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse. Justifie, en donnant un contre-exemple si elle est fausse.

1. Si \( (d_1) \parallel (d_2) \) et \( (d_2) \parallel (d_3) \) (droites distinctes), alors \( (d_1) \parallel (d_3) \).
2. Si \( (d_1) \perp (d_2) \) et \( (d_2) \perp (d_3) \), alors \( (d_1) \perp (d_3) \).
3. La médiatrice de \( [AB] \) est aussi la médiatrice de \( [BA] \).
4. Tout point de la droite \( (AB) \) est à égale distance de \( A \) et de \( B \).

19 Compter les points d’intersection ★★★

On trace des droites distinctes dans un plan. On suppose qu’il n’y a pas trois droites passant par un même point. Une paire de droites non parallèles se coupe en un point.

1. Au maximum, combien de points d’intersection pour 3 droites ?
2. Au maximum, combien pour 4 droites ?
3. Parmi les 4 droites, exactement deux sont parallèles. Combien de points d’intersection au maximum ?

20 La clôture du jardin ★★★

Un jardin rectangulaire \( ABCD \) mesure \( AB = 12 \text{ m} \) et \( BC = 7 \text{ m} \). On installe une clôture \( [EF] \), avec \( E \in [AD] \), \( F \in [BC] \), \( (EF) \parallel (AB) \) et \( AE = 3 \text{ m} \).

1. Quelle est la distance \( BF \) ? Justifie.
2. Quelle est la longueur de la clôture \( [EF] \) ? Quel est son prix à 9,50 € le mètre ?
3. Calcule \( DE \).