Droites, perpendiculaires et parallèles : exercices corrigés de maths 6ème

1 Écrire avec les notations ★★★

1. \( (EF) \)
2. \( [GH) \) (l’origine \( G \) est écrite en premier)
3. \( [KL] \)
4. \( M \in (d) \)
5. \( N \notin [KL] \)

2 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : une droite est illimitée, elle n’a pas de longueur.
2. Vrai : ils ont les mêmes extrémités \( A \) et \( B \).
3. Faux : \( [AB) \) a pour origine \( A \) et \( [BA) \) a pour origine \( B \).
4. Vrai : la demi-droite \( [AB) \) passe par \( B \).

3 Dedans ou dehors ? ★★★

Les points \( A \), \( C \) et \( E \) sont sur la droite, les points \( B \) et \( D \) en sont éloignés.

\( A \in (d) \) ; \( B \notin (d) \) ; \( C \in (d) \) ; \( D \notin (d) \) ; \( E \in (d) \).

4 Perpendiculaires et parallèles dans un rectangle ★★★

Perpendiculaires (angles droits codés) : \( (AB) \perp (BC) \) ; \( (BC) \perp (CD) \) ; \( (CD) \perp (DA) \) ; \( (DA) \perp (AB) \).

Parallèles : \( (AB) \parallel (DC) \) et \( (AD) \parallel (BC) \) : chaque paire est formée de deux côtés opposés, perpendiculaires à un même côté.

5 Longueurs sur une droite ★★★

1. \( B \) est sur \( [AC] \), donc \( AC = AB + BC = 4{,}2 + 3{,}5 = 7{,}7 \text{ cm} \).
2. \( D \) est sur \( [AC] \), donc \( DC = AC - AD = 7{,}7 - 5{,}1 = 2{,}6 \text{ cm} \).

6 Même perpendiculaire ★★★

Deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles. Donc \( (d_1) \parallel (d_2) \).

7 Décrire un tracé ★★★

1. On place un côté de l’angle droit de l’équerre le long de \( (d) \).

2. On fait glisser l’équerre le long de \( (d) \) jusqu’à ce que l’autre côté de l’angle droit touche \( M \).

3. On trace au crayon le long de ce côté en passant par \( M \) et en dépassant de \( (d) \).

4. On code l’angle droit par un petit carré.

8 Lire des points alignés ★★★

1. \( A(1\,;\,1) \), \( B(3\,;\,2) \), \( C(5\,;\,3) \), \( D(4\,;\,3) \), \( E(7\,;\,4) \), \( F(2\,;\,4) \).
2. De \( A \) à \( B \), on avance de 2 vers la droite et de 1 vers le haut. En répétant ce déplacement : \( C(5\,;\,3) \), puis \( (7\,;\,4) \), qui est \( E \). Donc \( C \) et \( E \) sont alignés avec \( A \) et \( B \). Pour \( D \) et \( F \), le déplacement n’est pas le même : ils ne sont pas sur la droite.
3. De \( A(1\,;\,1) \), quatre déplacements de \( (2\,;\,1) \) amènent à \( (1+8\,;\,1+4) = (9\,;\,5) \). Donc \( G \) est sur la droite \( (AB) \).

9 Chaîne de perpendiculaires et parallèles ★★★

1. \( (d_1) \perp (d_2) \) et \( (d_2) \parallel (d_3) \) : une droite perpendiculaire à l’une de deux parallèles l’est à l’autre, donc \( (d_1) \perp (d_3) \).
2. \( (d_1) \perp (d_3) \) et \( (d_4) \perp (d_3) \) : deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc \( (d_1) \parallel (d_4) \).
3. \( (d_4) \perp (d_3) \) et \( (d_3) \parallel (d_2) \), donc \( (d_4) \perp (d_2) \).

10 Vrai ou faux avec justification ★★★

1. Vrai : elles se coupent en formant un angle droit, donc elles se coupent en un point.
2. Faux : deux droites parallèles distinctes ne se coupent jamais.
3. Faux : elles peuvent se couper sans former d’angle droit.
4. Vrai : on la trace avec deux perpendiculaires successives, et elle est unique.

11 Un programme de construction ★★★

a) \( C \) est sur \( [AB] \), donc \( CB = AB - AC = 8 - 3 = 5 \text{ cm} \).

b) \( (d) \perp (AB) \) et \( (d’) \parallel (AB) \) : une perpendiculaire à l’une de deux parallèles l’est à l’autre, donc \( (d) \perp (d’) \).

c) \( (d’) \) est parallèle à \( (AB) \), l’écartement est le même partout. \( D \) est à 4 cm de \( (AB) \), donc \( E \) aussi : à 4 cm.

12 Sur le terrain de basket ★★★

1. Elles sont perpendiculaires à la même droite \( (f) \), donc \( (t_1) \parallel (t_2) \).
2. \( (t_1) \perp (f) \) et \( (m) \parallel (f) \), donc \( (t_1) \perp (m) \).
3. \( (t_1) \) et \( (t_2) \) sont parallèles, leur écartement est constant : la distance est encore de 15 m.

13 Médiatrice et distances ★★★

1. \( I \) est le milieu de \( [EF] \), donc \( EI = 7 \div 2 = 3{,}5 \text{ cm} \). La médiatrice est perpendiculaire à \( (EF) \) : l’angle est droit.
2. \( M \) est sur la médiatrice, donc il est à égale distance de \( E \) et \( F \) : \( MF = ME = 4{,}6 \text{ cm} \).
3. \( NE = 3 \) et \( NF = 5 \) sont différents. Un point de la médiatrice a deux distances égales, donc \( N \notin (\Delta) \).

14 Qui a raison ? ★★★

Elias a tort : deux droites peuvent se croiser en dehors de la feuille sans être parallèles.

Sofia a tort aussi : un écartement égal en un seul endroit ne prouve rien. Deux droites obliques peuvent être à 3 cm l’une de l’autre en un point puis s’éloigner.

Meilleure méthode : mesurer l’écartement en au moins deux endroits éloignés, ou mieux, vérifier à l’équerre que les deux droites sont perpendiculaires à une même droite.

15 Démontrer des parallèles ★★★

1. L’angle en \( B \) est droit : \( (AB) \perp (BC) \). L’angle en \( C \) est droit : \( (DC) \perp (BC) \). Deux droites perpendiculaires à \( (BC) \) sont parallèles : \( (AB) \parallel (DC) \).
2. L’angle en \( A \) est droit : \( (AD) \perp (AB) \). L’angle en \( B \) est droit : \( (BC) \perp (AB) \). Les droites \( (AD) \) et \( (BC) \) sont perpendiculaires à \( (AB) \), donc \( (AD) \parallel (BC) \).
3. \( (d) \perp (AB) \) et \( (AD) \perp (AB) \) : elles sont perpendiculaires à la même droite, donc \( (d) \parallel (AD) \).

16 Escalier de droites ★★★

a) \( (d_1) \) et \( (d_3) \) sont perpendiculaires à \( (d_2) \) : \( (d_1) \parallel (d_3) \).

b) \( (d_1) \parallel (d_3) \) et \( (d_3) \perp (d_4) \) : \( (d_1) \perp (d_4) \).

c) \( (d_1) \perp (d_4) \) et \( (d_5) \perp (d_4) \) : \( (d_1) \parallel (d_5) \).

d) \( (d_2) \) et \( (d_4) \) sont perpendiculaires à \( (d_3) \) : \( (d_2) \parallel (d_4) \).

17 Problème de la citerne ★★★

1. Il faut tracer la médiatrice de \( [AB] \). Le segment \( [AB] \) est horizontal, son milieu est \( I(4\,;\,1) \) (car \( (1+7) \div 2 = 4 \)). La médiatrice est la droite verticale passant par \( I \) : tous ses points ont pour abscisse 4.
2. La route passe par \( (4\,;\,3) \), qui a pour abscisse 4. Donc \( P(4\,;\,3) \).
3. Par la propriété de la médiatrice, \( PA = PB \). Sur la figure, on mesure environ 3,6 cm pour chacune des deux distances.

18 Vrai ou faux, niveau expert ★★★

1. Vrai : les trois droites ont la même direction, aucune ne coupe une autre.
2. Faux : on a plutôt \( (d_1) \parallel (d_3) \). Contre-exemple : une droite horizontale, une verticale, puis une horizontale.
3. Vrai : c’est la même définition, le segment \( [BA] \) est le même que \( [AB] \).
4. Faux : seul le milieu de \( [AB] \) est à égale distance de \( A \) et de \( B \). Un point \( C \) de \( [AB] \) proche de \( A \) est plus près de \( A \) que de \( B \).

19 Compter les points d’intersection ★★★

Chaque paire de droites non parallèles donne un seul point d’intersection.

1. Avec 3 droites : paires \( (d_1,d_2) \), \( (d_1,d_3) \), \( (d_2,d_3) \), soit 3 points.
2. Avec 4 droites : chaque droite peut être associée aux 3 autres, soit \( 4 \times 3 = 12 \) associations, mais chaque paire est comptée deux fois : \( 12 \div 2 = 6 \) paires. Donc 6 points au maximum.
3. Une des 6 paires est formée de droites parallèles : elle ne donne aucun point. Donc \( 6 - 1 = 5 \) points au maximum.

20 La clôture du jardin ★★★

1. Les droites \( (AB) \) et \( (EF) \) sont parallèles : leur écartement est constant. \( E \) est à 3 m de \( (AB) \) (car \( (AD) \perp (AB) \) et \( AE = 3 \text{ m} \)), donc \( F \) est aussi à 3 m de \( (AB) \) : \( BF = 3 \text{ m} \).
2. \( ABFE \) a quatre angles droits : c’est un rectangle, et \( EF = AB = 12 \text{ m} \). Prix : \( 12 \times 9{,}5 = 114 \) €. La clôture coûte 114 €.
3. \( E \in [AD] \) et \( AD = BC = 7 \text{ m} \), donc \( DE = 7 - 3 = 4 \text{ m} \).