Variations et extremums : contrôle de maths 2de à télécharger en PDF

1 Lecture d’un tableau de variations / 4 pts

La fonction \(\varphi\) est définie sur \([-4\,;\,6]\), sa courbe est continue. On donne son tableau de variations.

1. Donne les intervalles sur lesquels \(\varphi\) est croissante, puis ceux sur lesquels elle est décroissante.
2. Donne le maximum et le minimum de \(\varphi\), et les valeurs de \(x\) où ils sont atteints.
3. Compare \(\varphi(-3)\) et \(\varphi(-2)\), puis \(\varphi(0)\) et \(\varphi(1)\).
4. Combien de solutions possède l’équation \(\varphi(x) = 0\) ? Justifie.

2 Comparer avec les fonctions de référence / 4 pts

Sans calculatrice, compare en justifiant par les variations de la fonction de référence concernée.

1. \(3{,}2^2\) et \(3{,}5^2\)
2. \((-1{,}8)^2\) et \((-2{,}1)^2\)
3. \(\dfrac{1}{4{,}5}\) et \(\dfrac{1}{6}\)
4. \(\dfrac{1}{-0{,}5}\) et \(\dfrac{1}{-0{,}2}\)

3 Le vol d’un drone / 4 pts

Un drone s’élève depuis le sol. Son altitude, en mètres, à l’instant \(t\) (en secondes) est \(a(t) = -2t^2 + 12t\) pour \(t\) dans \([0\,;\,6]\).

1. Montre que \(a(t) = 18 - 2(t - 3)^2\).
2. Déduis-en l’altitude maximale du drone et l’instant où il l’atteint.
3. Dresse le tableau de variations de \(a\).
4. À quels instants le drone est-il à \(10\) m d’altitude ?

4 Signe et minimum / 4 pts

1. Étudie le signe de \(m(x) = 3x - 12\) et dresse son tableau de signes.
2. Dresse le tableau de signes de \(r(x) = (x + 3)(x - 2)\).
3. Résous \(r(x) < 0\).
4. Montre que \(r(x) = x^2 + x - 6\), puis que \(r(x) + 6{,}25 = (x + 0{,}5)^2\). Conclus sur le minimum de \(r\).

5 Démontrer et justifier / 4 pts

1. Démontre que \(f(x) = -3x + 2\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).
2. Vrai ou faux : « la fonction carré est croissante sur \(\mathbb{R}\) ». Justifie par un exemple.
3. Vrai ou faux : « si \(f\) est décroissante sur \([0\,;\,4]\), alors \(f(4)\) est le minimum de \(f\) sur cet intervalle ». Justifie.