Variations et extremums : exercices de maths 2de à télécharger en PDF

1 Lire un tableau de variations ★★★

Voici le tableau de variations d’une fonction \(u\) définie sur \([-3\,;\,5]\).

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie.

1. La fonction \(u\) est croissante sur \([-3\,;\,0]\).
2. Le maximum de \(u\) est \(6\).
3. \(u(4) < u(1)\).
4. Le minimum de \(u\) est \(2\).

2 Une fonction affine croissante ★★★

On considère la fonction \(f(x) = 3x - 5\) définie sur \([-2\,;\,4]\).

1. La fonction \(f\) est-elle croissante ou décroissante ? Pourquoi ?
2. Calcule \(f(-2)\) et \(f(4)\).
3. Dresse le tableau de variations de \(f\).
4. Donne le maximum et le minimum de \(f\), et où ils sont atteints.

3 Une fonction affine décroissante ★★★

Soit \(g(x) = -2x + 7\) définie sur \([0\,;\,5]\).

1. Quel est le sens de variation de \(g\) ? Dresse son tableau de variations.
2. Quels sont son maximum et son minimum ?
3. Compare \(g(1{,}2)\) et \(g(3{,}4)\) sans les calculer, puis vérifie en calculant.

4 Le carré : comparer sans calculatrice ★★★

En utilisant les variations de la fonction carré, compare sans calculer :

1. \(2{,}3^2\) et \(2{,}7^2\)
2. \((-4{,}2)^2\) et \((-3{,}9)^2\)
3. \(0{,}08^2\) et \(0{,}8^2\)

Contrôle ensuite chaque résultat à la calculatrice.

5 Lecture graphique d’une courbe ★★★

La courbe ci-dessous représente une fonction \(h\) définie sur \([0\,;\,4]\).

1. Dresse le tableau de variations de \(h\).
2. Quel est le maximum de \(h\) ? En quelles valeurs de \(x\) est-il atteint ?
3. Quel est le minimum de \(h\) ? En quelles valeurs de \(x\) est-il atteint ?
4. Résous graphiquement \(h(x) = 0\) puis \(h(x) = 4\).

6 Les températures d’une journée de juillet ★★★

Le tableau donne la température \(T\) (en °C) relevée à un balcon, en fonction de l’heure \(t\) de la journée.

1. À quelle heure la température est-elle la plus basse ? la plus élevée ?
2. Pendant quelles périodes la température augmente-t-elle ?
3. Calcule l’écart entre la température maximale et la température minimale.
4. Compare \(T(8)\) et \(T(12)\).

7 Vrai ou faux ? Définitions ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant avec un exemple ou une explication.

1. Une fonction qui ne prend que des valeurs positives est croissante.
2. Une fonction décroissante ne prend jamais de valeur positive.
3. Le maximum d’une fonction peut être atteint en deux valeurs de \(x\) différentes.
4. Si \(f\) est croissante sur \([a\,;\,b]\), son minimum sur cet intervalle est \(f(a)\).

8 Comparer des images avec un tableau ★★★

Voici le tableau de variations d’une fonction \(f\) définie sur \([-5\,;\,8]\).

Quand c’est possible, compare sans calculer. Sinon, explique pourquoi on ne peut pas conclure.

1. \(f(-4)\) et \(f(-2)\)
2. \(f(0)\) et \(f(2)\)
3. \(f(5)\) et \(f(7)\)
4. \(f(-3)\) et \(f(1)\)

9 Le lancer du ballon ★★★

Une joueuse lance un ballon vers le haut. Sa hauteur, en mètres, à l’instant \(t\) (en secondes) est \(h(t) = -5t^2 + 20t\) pour \(t\) dans \([0\,;\,4]\).

1. Calcule \(h(0)\) et \(h(4)\). Que représentent ces valeurs ?
2. Montre que \(h(t) = 20 - 5(t - 2)^2\).
3. En déduire le maximum de \(h\) et l’instant où il est atteint.
4. Dresse le tableau de variations de \(h\).
5. À quels instants le ballon est-il à \(15\) m de hauteur ?

10 Un minimum à justifier ★★★

Soit \(f(x) = (x - 2)^2 + 1\) définie sur \([-1\,;\,5]\).

1. Calcule \(f(-1)\), \(f(2)\) et \(f(5)\).
2. Justifie que \(f(x) \geqslant 1\) pour tout \(x\), et conclus sur le minimum de \(f\).
3. On admet que \(f\) est décroissante sur \([-1\,;\,2]\) et croissante sur \([2\,;\,5]\). Dresse son tableau de variations.
4. Compare \(f(0{,}5)\) et \(f(1{,}5)\) sans calculer.

11 Tableaux de signes ★★★

1. Étudie le signe de \(p(x) = -2x + 10\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Étudie le signe de \(q(x) = (x + 2)(x - 5)\) sur \(\mathbb{R}\) et dresse son tableau de signes.
3. Résous \(q(x) \geqslant 0\).

12 Inverse : attention aux intervalles ★★★

La fonction inverse est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\) et sur \(]0\,;\,+\infty[\).

1. Compare \(\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{1}{5}\).
2. Compare \(\dfrac{1}{-4}\) et \(\dfrac{1}{-2}\).
3. Un élève écrit : « \(-3 < 3\) donc \(\dfrac{1}{-3} > \dfrac{1}{3}\) ». Où est l’erreur ?

13 Nombre de solutions avec un tableau ★★★

La fonction \(k\) est définie sur \([-4\,;\,6]\) et sa courbe est tracée sans aucun saut. Voici son tableau de variations.

Combien de solutions possède chacune des équations suivantes ? Justifie.

1. \(k(x) = 0\)
2. \(k(x) = -3\)
3. \(k(x) = 2\)

14 Le bénéfice d’un atelier ★★★

Un atelier fabrique des objets en bois. Pour \(x\) centaines d’objets vendus, avec \(x\) dans \([0\,;\,12]\), son bénéfice, en centaines d’euros, est \(B(x) = -2x^2 + 24x - 40\).

1. Calcule \(B(0)\), \(B(6)\) et \(B(12)\).
2. Montre que \(B(x) = 32 - 2(x - 6)^2\).
3. En déduis le bénéfice maximal et le nombre d’objets à vendre pour l’obtenir.
4. Résous \(B(x) = 0\), puis dresse le tableau de signes de \(B\).
5. Pour quelles quantités l’atelier gagne-t-il de l’argent ?

15 Prouver une variation : l’inverse ★★★

Démontre que la fonction inverse \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) est strictement décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\). Pour cela, on prend deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(0 < a < b\) et on étudie le signe de \(f(a) - f(b)\).

16 Étudier \(x^2 + 4x\) ★★★

Soit \(f(x) = x^2 + 4x\) définie sur \(\mathbb{R}\).

1. Montre que \(f(x) = (x + 2)^2 - 4\).
2. En déduis que \(f\) admet un minimum sur \(\mathbb{R}\) et précise-le.
3. Soient \(-2 \leqslant a < b\). Montre que \(f(b) - f(a) = (b - a)(a + b + 4)\), puis que \(f\) est croissante sur \([-2\,;\,+\infty[\).
4. Compare \(f(0{,}5)\) et \(f(3)\) sans calculer, puis calcule-les.

17 L’enclos du jardinier ★★★

Léa dispose de \(40\) m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire. Elle note \(x\) la largeur de l’enclos, en mètres, avec \(x\) dans \([0\,;\,20]\).

1. Exprime la longueur de l’enclos en fonction de \(x\), puis son aire \(A(x)\).
2. Montre que \(A(x) = 100 - (x - 10)^2\).
3. Quelle est l’aire maximale ? Quelle est alors la forme de l’enclos ?
4. Soient \(0 \leqslant a < b \leqslant 10\). Montre que \(A(b) - A(a) = (b - a)(20 - a - b)\) et déduis-en le sens de variation de \(A\) sur \([0\,;\,10]\).
5. Léa veut une aire de \(96\) m². Quelles dimensions peut-elle choisir ?

18 Compter les solutions, cas limite ★★★

La fonction \(f\) est définie sur \([-3\,;\,9]\), sa courbe est continue (sans saut). Voici son tableau de variations.

Combien de solutions possède chaque équation ? Justifie soigneusement.

1. \(f(x) = 0\)
2. \(f(x) = 3\)
3. \(f(x) = -3\)
4. \(f(x) = 6\)

19 Inventer une fonction ★★★

Donne l’expression d’une fonction \(f\) définie sur \([-3\,;\,3]\) dont le maximum est \(5\), atteint en \(0\) seulement, et dont le minimum est \(-4\), atteint en \(-3\) et en \(3\). Vérifie soigneusement ta réponse. Indice : pense à la fonction carré « retournée ».

20 Vrai ou faux ? Raisonnements ★★★

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et démontre-la ou donne un contre-exemple.

1. Si \(f\) est croissante sur \([0\,;\,3]\) et sur \([3\,;\,7]\), alors \(f\) est croissante sur \([0\,;\,7]\).
2. Si \(f\) est croissante sur \([-2\,;\,0]\) et décroissante sur \([0\,;\,2]\), alors le maximum de \(f\) sur \([-2\,;\,2]\) est \(f(0)\).
3. Si \(f(1) < f(2)\), alors \(f\) est croissante sur \([1\,;\,2]\).