Vecteurs du plan : exercices de maths 2de à télécharger en PDF

1 Coordonnées d’un vecteur ★★★

Dans un repère, on place \(A(2\,;\,-3)\) et \(B(7\,;\,1)\). Calcule les coordonnées de \overrightarrow{AB} et de \overrightarrow{BA}, puis la norme de \overrightarrow{AB}.

2 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis justifie.

1. Deux vecteurs égaux ont la même norme.
2. \overrightarrow{AB} \(=\) \overrightarrow{BA} pour tous points \(A\) et \(B\).
3. Si \(ABCD\) est un parallélogramme, alors \overrightarrow{AB} \(=\) \overrightarrow{CD}.
4. Le vecteur \(\vec{u}\,(3 \,;\, -4)\) a pour norme \(5\).

3 Somme et multiple en coordonnées ★★★

Soit \(\vec{u}\,(-2 \,;\, 6)\) et \(\vec{v}\,(5 \,;\, -1)\). Calcule \(\vec{u} + \vec{v}\), \(\vec{u} - \vec{v}\) et \(3\vec{u}\).

4 Chasles à la chaîne ★★★

Écris chaque somme sous la forme d’un seul vecteur :

1. \overrightarrow{AB} \(+\) \overrightarrow{BD}
2. \overrightarrow{CE} \(+\) \overrightarrow{EF} \(+\) \overrightarrow{FG}
3. \overrightarrow{AB} \(-\) \overrightarrow{CB}
4. \overrightarrow{PQ} \(+\) \overrightarrow{QP}

5 Milieu d’un segment ★★★

Deux balises de plage sont placées en \(M(-5\,;\,4)\) et \(N(3\,;\,-2)\) dans un repère. Quelles sont les coordonnées du milieu \(I\) de \([MN]\) ?

6 Quatrième sommet ★★★

On donne \(A(1\,;\,1)\), \(B(5\,;\,2)\) et \(C(6\,;\,6)\). Détermine les coordonnées du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.

7 Pion sur un damier ★★★

Un pion est posé en \(M(3\,;\,-2)\). Une règle du jeu lui impose la translation de vecteur \(\vec{u}\,(-4 \,;\, 5)\). Où arrive-t-il ? De quel point \(N\) faut-il partir pour arriver en \(O(0\,;\,0)\) ?

8 Colinéaires ou non ? ★★★

Étudie la colinéarité de \(\vec{u}\,(4 \,;\, -6)\) et \(\vec{v}\,(-10 \,;\, 15)\), puis de \(\vec{w}\,(3 \,;\, 5)\) et \(\vec{z}\,(6 \,;\, 11)\).

9 Un paramètre à trouver ★★★

Pour quelle valeur de \(m\) les vecteurs \(\vec{u}\,(3 \,;\, m)\) et \(\vec{v}\,(-6 \,;\, 10)\) sont-ils colinéaires ?

10 Trois arbres alignés ? ★★★

Dans un verger repéré par un quadrillage, les arbres \(R(-2\,;\,-1)\), \(S(1\,;\,3)\), \(T(7\,;\,11)\) sont-ils alignés ? Même question pour \(U(0\,;\,0)\), \(V(2\,;\,5)\), \(W(5\,;\,12)\).

11 Deux droites parallèles ? ★★★

Soit \(A(1\,;\,-1)\), \(B(4\,;\,2)\), \(C(-2\,;\,3)\), \(D(3\,;\,8)\). Montre que \((AB)\) et \((CD)\) sont strictement parallèles.

12 Le drone ★★★

Un drone décolle du point \(A(10\,;\,5)\) (unité : le mètre). Il effectue le déplacement \(\vec{u}\,(35 \,;\, 20)\), puis le déplacement \(\vec{v}\,(-12 \,;\, -45)\). Où se trouve-t-il à la fin, et quelle distance sépare l’arrivée du départ ? (arrondi au dixième de mètre, calculatrice autorisée)

13 Combinaisons de vecteurs ★★★

Avec \(\vec{u}\,(2 \,;\, -1)\) et \(\vec{v}\,(-3 \,;\, 4)\), calcule \(3\vec{u} - 2\vec{v}\) et \(\dfrac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v})\).

14 Quatrième sommet et centre ★★★

\(A(-2\,;\,-1)\), \(B(5\,;\,-2)\) et \(C(6\,;\,5)\) sont trois sommets d’un parallélogramme \(ABCD\). Calcule \(D\), puis le centre \(I\) du parallélogramme.

15 Un parallélogramme particulier ? ★★★

On donne \(A(-3\,;\,2)\), \(B(1\,;\,5)\), \(C(6\,;\,3)\), \(D(2\,;\,0)\). Montre que \(ABCD\) est un parallélogramme. Est-ce un losange ? un rectangle ?

16 Trois points alignés avec un paramètre ★★★

Trois antennes sont placées en \(A(-2\,;\,1)\), \(B(4\,;\,4)\) et \(C(10\,;\,y)\). Détermine \(y\) pour qu’elles soient alignées.

17 Droite des milieux ★★★

Dans un triangle \(ABC\), \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) celui de \([AC]\). Démontre, avec la relation de Chasles, que \overrightarrow{IJ} \(= \dfrac{1}{2}\)\overrightarrow{BC}. Que peut-on en conclure ?

18 Un milieu qui se cache ★★★

\(ABCD\) est un parallélogramme et \(I\) est le milieu de \([CD]\). Montre que \overrightarrow{AI} \(=\) \overrightarrow{AD} \(+ \dfrac{1}{2}\)\overrightarrow{AB}. Soit \(J\) le milieu de \([AB]\) : que peut-on dire du quadrilatère \(AJID\) ?

19 Deux droites parallèles par Chasles ★★★

\(ABC\) est un triangle. Les points \(D\) et \(E\) sont tels que \overrightarrow{AD} \(= \dfrac{3}{2}\)\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AE} \(= \dfrac{3}{2}\)\overrightarrow{AC}. Démontre que \((DE)\parallel(BC)\).

20 Centre de gravité ★★★

Soit \(A(1\,;\,5)\), \(B(-4\,;\,2)\), \(C(6\,;\,-1)\). Trouve les coordonnées du point \(G\) tel que \overrightarrow{GA} \(+\) \overrightarrow{GB} \(+\) \overrightarrow{GC} \(= \vec{0}\).

21 Affirmations sur un parallélogramme ★★★

\(ABCD\) est un parallélogramme. Vrai ou faux ? Justifie.

1. \overrightarrow{AB} \(+\) \overrightarrow{AD} \(=\) \overrightarrow{AC}.
2. \overrightarrow{AC} \(+\) \overrightarrow{BD} \(= 2\)\overrightarrow{AD}.
3. Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires, alors il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).