Variations et extremums : corrigé du contrôle de maths 2de

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Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice autorisée seulement quand l’énoncé le précise.

Sommaire

\(\varphi\) est croissante sur \([-1\,;\,2]\) et décroissante sur \([-4\,;\,-1]\) et sur \([2\,;\,6]\). (1 pt)
Le maximum est \(4\), atteint en \(x = 2\) (0,75 pt) ; le minimum est \(-3\), atteint en \(x = -1\) (0,75 pt).
\(-3\) et \(-2\) sont dans \([-4\,;\,-1]\) où \(\varphi\) décroît : \(\varphi(-3) > \varphi(-2)\) (0,5 pt). \(0\) et \(1\) sont dans \([-1\,;\,2]\) où \(\varphi\) croît : \(\varphi(0) < \varphi(1)\) (0,5 pt).
Sur \([-4\,;\,-1]\), \(\varphi\) décroît de \(1\) à \(-3\) : une solution. Sur \([-1\,;\,2]\), elle croît de \(-3\) à \(4\) : une solution. Sur \([2\,;\,6]\), elle décroît de \(4\) à \(0\) : la valeur \(0\) n’est atteinte qu’en \(x = 6\). Au total, \(3\) solutions. (0,5 pt)

\(3{,}2 < 3{,}5\) dans \([0\,;\,+\infty[\) où le carré croît : \(3{,}2^2 < 3{,}5^2\). (1 pt)
\(-2{,}1 < -1{,}8\) dans \(]-\infty\,;\,0]\) où le carré décroît : \((-2{,}1)^2 > (-1{,}8)^2\). (1 pt)
\(4{,}5 < 6\) dans \(]0\,;\,+\infty[\) où l’inverse décroît : \(\dfrac{1}{4{,}5} > \dfrac{1}{6}\). (1 pt)
\(-0{,}5 < -0{,}2\) dans \(]-\infty\,;\,0[\) où l’inverse décroît : \(\dfrac{1}{-0{,}5} > \dfrac{1}{-0{,}2}\). (1 pt)

\(18 - 2(t - 3)^2 = 18 - 2t^2 + 12t - 18 = -2t^2 + 12t\). (1 pt)
\((t - 3)^2 \geqslant 0\), donc \(a(t) \leqslant 18\), avec égalité en \(t = 3\) : altitude maximale \(18\) m à \(t = 3\) s. (1 pt)
\(a(0) = 0\), \(a(3) = 18\), \(a(6) = -72 + 72 = 0\) ; croissante puis décroissante. (1 pt)
\(18 - 2(t - 3)^2 = 10\) donne \((t - 3)^2 = 4\), donc \(t = 1\) ou \(t = 5\). Le drone est à \(10\) m à \(1\) s et à \(5\) s. (1 pt)

\(3x - 12 = 0\) pour \(x = 4\). Coefficient positif : négative avant \(4\), positive après.
(1 pt)
Zéros \(-3\) et \(2\) ; règle des signes d’un produit : \(+\), \(-\), \(+\).
(1,5 pt)
\(r(x) < 0\) pour \(x\) dans \(]-3\,;\,2[\). (0,5 pt)
\((x + 3)(x - 2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6\) et \((x + 0{,}5)^2 = x^2 + x + 0{,}25 = r(x) + 6{,}25\). Donc \(r(x) = (x + 0{,}5)^2 - 6{,}25 \geqslant -6{,}25\), avec égalité en \(x = -0{,}5\) : le minimum est \(-6{,}25\). (1 pt)

Soient \(a < b\). Alors \(f(a) - f(b) = (-3a + 2) - (-3b + 2) = 3(b - a) > 0\), donc \(f(a) > f(b)\) : \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\). (2 pts)
Faux : \(-2 < -1\) mais \((-2)^2 = 4 > 1 = (-1)^2\). Le carré est décroissant sur \(]-\infty\,;\,0]\). (1 pt)
Vrai : pour tout \(x\) de \([0\,;\,4]\), \(x \leqslant 4\), donc \(f(x) \geqslant f(4)\) car \(f\) est décroissante. (1 pt)