Algorithmique et Python : contrôle de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Lire un programme / 4 pts

On considère le programme :

u = 2
S = 0
for k in range(5):
    S = S + u
    u = 3*u - 1
print(S, u)

1. Complète un tableau de suivi (valeurs de u et de S à la fin de chaque tour).
2. Quelles valeurs sont affichées ?
3. Écris la relation de récurrence vérifiée par la suite \((u_n)\) dont on lit les valeurs.

2 Une fonction par morceaux / 3 pts

Un parking facture ainsi : 4 € par heure jusqu’à 10 heures ; au-delà de 10 heures et jusqu’à 30 heures, 3 € par heure supplémentaire ; au-delà de 30 heures, 2 € par heure supplémentaire.

def tarif(n):
    if n <= 10:
        return 4*n
    elif n <= 30:
        return 40 + 3*(n - 10)
    else:
        return 100 + 2*(n - 30)

1. Calcule tarif(8), tarif(10), tarif(25) et tarif(40).
2. Vérifie que la fonction donne le même prix pour 30 heures avec les deux dernières formules.

3 Un seuil à franchir / 4 pts

Soit \((v_n)\) définie par \(v_0 = 50\) et \(v_{n+1} = 1{,}2\,v_n + 5\).

1. Calcule \(v_1\) et \(v_2\).
2. Écris un programme Python qui renvoie le plus petit entier \(n\) tel que \(v_n \gt 200\).
3. Quelle valeur renvoie-t-il ? Justifie avec les valeurs de \(v_6\) et \(v_7\).

4 Dichotomie / 4 pts

Soit \(f(x) = x^3 + 2x - 5\) sur \([1\,;\,2]\).

1. Montre que \(f(x) = 0\) a une unique solution \(\alpha\) dans \([1\,;\,2]\).
2. Applique trois étapes de dichotomie en indiquant, à chaque étape, le milieu, le signe de \(f\) et le nouvel intervalle.
3. Quelle est l’amplitude de l’encadrement obtenu ?

5 Simulation de quatre épreuves / 3 pts

On considère le programme :

from random import random
def X():
    s = 0
    for i in range(4):
        if random() < 0.25:
            s = s + 1
    return s

1. Quelle est la loi suivie par le résultat de X() ?
2. Calcule la probabilité que X() renvoie 0, puis qu’elle renvoie au moins 1.

6 Approcher un nombre dérivé / 2 pts

Soit \(f(x) = x^2 - x\) et \(a = 3\).

1. Exprime \(\dfrac{f(3+h) - f(3)}{h}\) en fonction de \(h\).
2. Que vaut ce taux pour \(h = 0{,}01\) ? Quel est \(f'(3)\) ?