Variables aléatoires : exercices corrigés de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Compléter une loi ★★★

1. La somme des probabilités vaut \(1\) : \(P(X=3) = 1 - (0{,}1 + 0{,}35 + 0{,}25) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\).
2. \(P(X \geqslant 3) = P(X=3) + P(X=4) = 0{,}3 + 0{,}25 = 0{,}55\).

2 Les pannes du distributeur ★★★

\(E(X) = 0 \times 0{,}2 + 1 \times 0{,}4 + 2 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}1 = 0 + 0{,}4 + 0{,}6 + 0{,}3 = 1{,}3\).

En moyenne, le distributeur tombe en panne \(1{,}3\) fois par mois.

3 Bernoulli ou pas ? ★★★

1. Oui : deux issues, « as » (succès) ou « pas un as ». Il y a 4 as sur 32 cartes, donc \(p = \dfrac{4}{32} = 0{,}125\).
2. Non : il y a six issues possibles, pas deux. (En revanche, « obtenir un nombre pair » serait une épreuve de Bernoulli.)
3. Oui : le succès est « l’élève est gaucher » et \(p = 0{,}1\).

4 Coefficients binomiaux ★★★

\(\dbinom{6}{0} = 1\) ; \(\dbinom{7}{1} = 7\) ; \(\dbinom{6}{2} = 15\) ; \(\dbinom{6}{4} = \dbinom{6}{2} = 15\) par symétrie ; \(\dbinom{5}{3} = \dbinom{5}{2} = 10\).

5 Une petite loi binomiale ★★★

\(P(X=0) = 0{,}8^3 = 0{,}512\). \(P(X=1) = \dbinom{3}{1} \times 0{,}2 \times 0{,}8^2 = 3 \times 0{,}2 \times 0{,}64 = 0{,}384\).

\(P(X=2) = 3 \times 0{,}2^2 \times 0{,}8 = 3 \times 0{,}04 \times 0{,}8 = 0{,}096\). \(P(X=3) = 0{,}2^3 = 0{,}008\).

Somme : \(0{,}512 + 0{,}384 + 0{,}096 + 0{,}008 = 1\).

6 Espérance et variance binomiales ★★★

\(E(X) = np = 20 \times 0{,}35 = 7\).

\(V(X) = np(1-p) = 20 \times 0{,}35 \times 0{,}65 = 4{,}55\).

\(\sigma(X) = \sqrt{4{,}55} \approx 2{,}13\).

7 Un jeu de dé ★★★

1. Face \(6\) : \(G = 15 - 4 = 11\), avec \(P = \dfrac{1}{6}\). Faces \(4\) ou \(5\) : \(G = 0\), avec \(P = \dfrac{2}{6}\). Faces \(1\), \(2\), \(3\) : \(G = -4\), avec \(P = \dfrac{3}{6}\).
2. \(E(G) = 11 \times \dfrac{1}{6} + 0 \times \dfrac{2}{6} - 4 \times \dfrac{3}{6} = \dfrac{11 - 12}{6} = -\dfrac{1}{6} \approx -0{,}17\). L’espérance est négative : le jeu est défavorable, le joueur perd en moyenne environ \(0{,}17\) € par partie.
3. La somme reçue a pour espérance \(\dfrac{15 + 2 \times 4}{6} = \dfrac{23}{6}\). Le jeu est équitable si la mise vaut \(\dfrac{23}{6} \approx 3{,}83\) €.

8 Deux formules pour la variance ★★★

1. \(E(X) = -2 \times 0{,}1 + 0 \times 0{,}3 + 1 \times 0{,}4 + 4 \times 0{,}2 = -0{,}2 + 0 + 0{,}4 + 0{,}8 = 1\).
2. \(V(X) = 0{,}1 \times (-3)^2 + 0{,}3 \times (-1)^2 + 0{,}4 \times 0^2 + 0{,}2 \times 3^2 = 0{,}9 + 0{,}3 + 0 + 1{,}8 = 3\).
3. \(E(X^2) = 0{,}1 \times 4 + 0{,}3 \times 0 + 0{,}4 \times 1 + 0{,}2 \times 16 = 0{,}4 + 0{,}4 + 3{,}2 = 4\), donc \(V(X) = 4 - 1^2 = 3\). Les deux méthodes concordent, et \(\sigma(X) = \sqrt{3} \approx 1{,}73\).

9 Degrés Celsius et Fahrenheit ★★★

\(E(Y) = 1{,}8 \times E(X) + 32 = 1{,}8 \times 24 + 32 = 43{,}2 + 32 = 75{,}2\).

\(V(Y) = 1{,}8^2 \times V(X) = 3{,}24 \times 2{,}25 = 7{,}29\).

\(\sigma(Y) = \sqrt{7{,}29} = 2{,}7\). On vérifie : \(\sigma(Y) = 1{,}8 \times \sigma(X) = 1{,}8 \times 1{,}5 = 2{,}7\). L’écart type de \(X\) est \(\sigma(X) = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\).

10 Trois tirs au panier ★★★

1. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre \(0{,}7\), répétée 3 fois de façon indépendante : \(X\) suit \(\mathcal{B}(3\,;\,0{,}7)\).
2. \(P(X=2) = \dbinom{3}{2} \times 0{,}7^2 \times 0{,}3 = 3 \times 0{,}49 \times 0{,}3 = 0{,}441\) ; \(P(X=3) = 0{,}7^3 = 0{,}343\).
3. \(P(X \geqslant 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}3^3 = 1 - 0{,}027 = 0{,}973\).

11 Le contrôle qualité ★★★

1. \(X\) suit \(\mathcal{B}(8\,;\,0{,}05)\).
2. \(P(X=0) = 0{,}95^8 \approx 0{,}663\). Donc \(P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}95^8 \approx 0{,}337\).
3. \(P(X=2) = \dbinom{8}{2} \times 0{,}05^2 \times 0{,}95^6 = 28 \times 0{,}0025 \times 0{,}95^6 \approx 0{,}051\).

12 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : \(E(X) = np = 10 \times 0{,}2 = 2\).
2. Faux : \(V(X) = 10 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 1{,}6\). (C’est \(E(X)\) qui vaut \(2\).)
3. Vrai : \(\dbinom{10}{10} = 1\), donc \(P(X=10) = 1 \times 0{,}2^{10} \times 0{,}8^0 = 0{,}2^{10}\).
4. Vrai : \(\dbinom{10}{1} = 10\) et \(P(X=1) = 10 \times 0{,}2^1 \times 0{,}8^9\).
5. Faux : sans remise, les tirages ne sont pas indépendants et la probabilité d’obtenir un roi change à chaque tirage ; ce n’est pas un schéma de Bernoulli.

13 Pascal en action ★★★

1. Relation de Pascal : \(\dbinom{7}{3} = \dbinom{6}{2} + \dbinom{6}{3} = 15 + 20 = 35\).
2. Choisir 2 emplacements parmi \(n\) : \(n\) choix pour le premier, \(n-1\) pour le second, soit \(n(n-1)\) couples ordonnés, mais chaque paire est comptée deux fois : \(\dbinom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}\).
3. \(\dfrac{n(n-1)}{2} = 45\) équivaut à \(n(n-1) = 90 = 10 \times 9\), donc \(n = 10\) (l’autre solution, \(n = -9\), est négative). Vérification : \(\dbinom{10}{2} = 45\).

14 Quiz au hasard ★★★

1. Chaque question est une épreuve de Bernoulli (bonne réponse avec \(p = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\)), répétée 12 fois de façon indépendante : \(X \sim \mathcal{B}(12\,;\,0{,}25)\).
2. \(P(X=3) = \dbinom{12}{3} \times 0{,}25^3 \times 0{,}75^9 = 220 \times 0{,}015625 \times 0{,}0750847\ldots \approx 0{,}2581\).
3. \(E(X) = 12 \times 0{,}25 = 3\) ; \(V(X) = 12 \times 0{,}25 \times 0{,}75 = 2{,}25\) ; \(\sigma(X) = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\).
4. \(P(X \geqslant 6) = 1 - P(X \leqslant 5) \approx 1 - 0{,}9456 = 0{,}0544\). Réussir à demi par hasard arrive environ une fois sur 18.

15 Combien d’essais ? ★★★

Avec \(n\) paquets, le nombre \(X\) de figurines rares suit \(\mathcal{B}(n\,;\,0{,}2)\), et \(P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}8^n\).

On veut \(1 - 0{,}8^n > 0{,}99\), soit \(0{,}8^n < 0{,}01\). La suite \(0{,}8^n\) est décroissante : on cherche le premier rang où elle passe sous \(0{,}01\), avec un tableau de valeurs de la calculatrice.

\(0{,}8^{20} \approx 0{,}0115 > 0{,}01\) et \(0{,}8^{21} \approx 0{,}0092 < 0{,}01\). Il faut acheter au minimum \(21\) paquets.

16 Fluctuation sur 50 tirages ★★★

\(a\) est le plus petit entier tel que \(P(X \leqslant a) > 0{,}025\) : \(P(X \leqslant 8) \approx 0{,}0183 \leqslant 0{,}025\) et \(P(X \leqslant 9) \approx 0{,}0402 > 0{,}025\), donc \(a = 9\).

\(b\) est le plus petit entier tel que \(P(X \leqslant b) \geqslant 0{,}975\) : \(P(X \leqslant 21) \approx 0{,}9749 < 0{,}975\) et \(P(X \leqslant 22) \approx 0{,}9877 \geqslant 0{,}975\), donc \(b = 22\).

L’intervalle de fluctuation est \(\left[\dfrac{9}{50}\,;\,\dfrac{22}{50}\right] = [0{,}18\,;\,0{,}44]\).

17 Le sondage de l’application ★★★

1. La fréquence observée est \(f = \dfrac{56}{100} = 0{,}56\). Or \(0{,}56 \notin [0{,}31\,;\,0{,}50]\) : on rejette l’affirmation « 40 % » avec un risque d’erreur d’environ \(5\) %.
2. Ici \(f = 0{,}47 \in [0{,}31\,;\,0{,}50]\) : on ne peut pas rejeter l’affirmation ; l’échantillon est compatible avec \(p = 0{,}4\).

18 Retrouver une loi ★★★

1. Notons \(a = P(X=-1)\) et \(c = P(X=2)\). La somme vaut \(1\) : \(a + 0{,}5 + c = 1\), donc \(a + c = 0{,}5\). L’espérance donne \(-a + 2c = 0{,}7\). En additionnant les deux équations : \(3c = 1{,}2\), donc \(c = 0{,}4\) et \(a = 0{,}1\).
2. \(E(X^2) = 0{,}1 \times 1 + 0{,}5 \times 0 + 0{,}4 \times 4 = 1{,}7\), donc \(V(X) = 1{,}7 - 0{,}7^2 = 1{,}7 - 0{,}49 = 1{,}21\) et \(\sigma(X) = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1\).

19 Retrouver les paramètres ★★★

1. On a \(np = 12\) et \(np(1-p) = 7{,}2\). En divisant : \(1 - p = \dfrac{7{,}2}{12} = 0{,}6\), donc \(p = 0{,}4\), puis \(n = \dfrac{12}{0{,}4} = 30\).
2. \(P(X=12) = \dbinom{30}{12} \times 0{,}4^{12} \times 0{,}6^{18} \approx 0{,}1474\) (à la calculatrice).

20 Le jeu des boules rouges ★★★

1. À chaque tirage, \(P(\text{rouge}) = \dfrac{3}{10} = 0{,}3\) et les tirages sont indépendants (avec remise) : \(X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}3)\). \(P(X=2) = \dbinom{5}{2} \times 0{,}3^2 \times 0{,}7^3 = 10 \times 0{,}09 \times 0{,}343 = 0{,}3087\).
2. \(E(X) = 5 \times 0{,}3 = 1{,}5\) et \(V(X) = 5 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 1{,}05\). Donc \(E(G) = 4 \times 1{,}5 - 5 = 1\), \(V(G) = 4^2 \times 1{,}05 = 16{,}8\) et \(\sigma(G) = \sqrt{16{,}8} \approx 4{,}10\).
3. \(G > 0\) équivaut à \(4X > 5\), soit \(X \geqslant 2\). \(P(X \geqslant 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - 0{,}16807 - 0{,}36015 = 0{,}47178\), soit environ \(47{,}2\) %.