Variables aléatoires : contrôle de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Loi, espérance et écart type / 5 pts

À une kermesse, une roue donne un gain \(X\) (en euros) dont la loi est :

1. Vérifie que c’est bien une loi de probabilité.
2. Calcule \(E(X)\) et interprète.
3. Calcule \(V(X)\) puis \(\sigma(X)\) au centième. (Calculatrice autorisée pour la racine carrée.)

2 Transformation affine / 2 pts

Avec la variable \(X\) de l’exercice précédent, le prix d’entrée est de \(1\) € et la roue paie le double : on définit \(Y = 2X - 1\). Calcule \(E(Y)\) et \(V(Y)\).

3 Les graines de tournesol / 4 pts

Une graine de tournesol ne germe pas avec la probabilité \(0{,}1\), indépendamment des autres. On sème 5 graines et on note \(X\) le nombre de graines qui ne germent pas.

1. Justifie que \(X\) suit une loi binomiale et donne ses paramètres.
2. Calcule \(P(X=0)\) et \(P(X=2)\), arrondis au millième.
3. En déduis la probabilité qu’au moins une graine ne germe pas. (Calculatrice autorisée.)

4 Coefficients binomiaux / 3 pts

1. Donne \(\dbinom{8}{3}\) et \(\dbinom{8}{5}\) sachant que \(\dbinom{8}{3} = 56\), puis explique pourquoi ils sont égaux.
2. Sachant que \(\dbinom{8}{4} = 70\), calcule \(\dbinom{9}{4}\) avec la relation de Pascal.

5 Espérance et variance binomiales / 3 pts

Un sondeur appelle 60 personnes tirées au hasard. Chacune accepte de répondre avec la probabilité \(0{,}25\), indépendamment des autres. \(X\) est le nombre de personnes qui acceptent.

1. Donne la loi de \(X\).
2. Calcule \(E(X)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\) au centième.

6 Intervalle de fluctuation / 3 pts

Dans une classe de 40 élèves tirés au hasard, on étudie la fréquence de ceux qui font du théâtre. On suppose \(p = 0{,}15\) : le nombre \(X\) suit \(\mathcal{B}(40\,;\,0{,}15)\). On donne :

1. Détermine \(a\) et \(b\), puis l’intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence.
2. On observe 13 élèves qui font du théâtre. L’hypothèse \(p = 0{,}15\) est-elle remise en cause ?