Variables aléatoires : corrigé du contrôle de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Loi, espérance et écart type / 5 pts

1. Les probabilités sont dans \([0\,;\,1]\) et \(0{,}4 + 0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}1 = 1\) (1 pt).
2. \(E(X) = -2 \times 0{,}4 + 1 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}2 + 8 \times 0{,}1 = -0{,}8 + 0{,}3 + 0{,}6 + 0{,}8 = 0{,}9\) (1 pt). En moyenne le joueur gagne \(0{,}90\) € par partie (1 pt).
3. \(E(X^2) = 4 \times 0{,}4 + 1 \times 0{,}3 + 9 \times 0{,}2 + 64 \times 0{,}1 = 1{,}6 + 0{,}3 + 1{,}8 + 6{,}4 = 10{,}1\), donc \(V(X) = 10{,}1 - 0{,}9^2 = 9{,}29\) (1 pt) et \(\sigma(X) = \sqrt{9{,}29} \approx 3{,}05\) (1 pt).

2 Transformation affine / 2 pts

\(E(Y) = 2 \times 0{,}9 - 1 = 0{,}8\) (1 pt).

\(V(Y) = 2^2 \times 9{,}29 = 37{,}16\) (1 pt).

3 Les graines de tournesol / 4 pts

1. Chaque graine est une épreuve de Bernoulli (succès : « ne germe pas », \(p = 0{,}1\)), répétée 5 fois de façon indépendante : \(X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}1)\) (1 pt).
2. \(P(X=0) = 0{,}9^5 \approx 0{,}590\) (1 pt) ; \(P(X=2) = \dbinom{5}{2} \times 0{,}1^2 \times 0{,}9^3 = 10 \times 0{,}01 \times 0{,}729 = 0{,}0729 \approx 0{,}073\) (1 pt).
3. \(P(X \geqslant 1) = 1 - P(X=0) \approx 1 - 0{,}590 = 0{,}410\) (1 pt).

4 Coefficients binomiaux / 3 pts

1. \(\dbinom{8}{3} = 56\) et, par symétrie, \(\dbinom{8}{5} = \dbinom{8}{8-5} = \dbinom{8}{3} = 56\) (1,5 pt).
2. \(\dbinom{9}{4} = \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} = 56 + 70 = 126\) (1,5 pt).

5 Espérance et variance binomiales / 3 pts

1. \(X \sim \mathcal{B}(60\,;\,0{,}25)\) (1 pt).
2. \(E(X) = 60 \times 0{,}25 = 15\) (0,5 pt) ; \(V(X) = 60 \times 0{,}25 \times 0{,}75 = 11{,}25\) (1 pt) ; \(\sigma(X) = \sqrt{11{,}25} \approx 3{,}35\) (0,5 pt).

6 Intervalle de fluctuation / 3 pts

1. \(P(X \leqslant 1) \approx 0{,}0121 \leqslant 0{,}025\) et \(P(X \leqslant 2) \approx 0{,}0486 > 0{,}025\), donc \(a = 2\) (0,5 pt). \(P(X \leqslant 10) \approx 0{,}9701 < 0{,}975\) et \(P(X \leqslant 11) \approx 0{,}9880 \geqslant 0{,}975\), donc \(b = 11\) (0,5 pt). L’intervalle est \(\left[\dfrac{2}{40}\,;\,\dfrac{11}{40}\right] = [0{,}05\,;\,0{,}275]\) (1 pt).
2. \(f = \dfrac{13}{40} = 0{,}325 \notin [0{,}05\,;\,0{,}275]\) (0,5 pt) : l’hypothèse \(p = 0{,}15\) est remise en cause, avec un risque d’environ \(5\) % de se tromper (0,5 pt).