20 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Reconnaître un trinôme ★★★
Pour chaque fonction, dis si c’est un trinôme du second degré et donne \(a\), \(b\), \(c\) :
- \(f(x) = 3x^2 - 5x + 2\)
- \(g(x) = 4 - x^2\)
- \(h(x) = (x-1)(x+2)\)
- \(k(x) = 2x + 7\)
2 Calculs de discriminants ★★★
Calcule le discriminant de chaque trinôme puis indique le nombre de racines : \(x^2 + 5x + 4\) ; \(2x^2 - 3x + 5\) ; \(4x^2 - 12x + 9\).
3 Une équation simple ★★★
Résous dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
4 Vérifier une forme canonique ★★★
Montre que \(f(x) = 2x^2 - 12x + 10\) peut s’écrire \(2(x-3)^2 - 8\). Quel est le sommet de la parabole ?
5 Vrai ou faux ? ★★★
Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant :
- L’équation \(x^2 + 1 = 0\) possède deux solutions réelles.
- La parabole de \(-2x^2 + x + 3\) est tournée vers le bas.
- \(x^2 - 6x + 9 = 0\) a une racine double.
- La somme des racines de \(x^2 - 7x + 10\) vaut \(7\).
6 Équations incomplètes ★★★
Résous sans calculer de discriminant : a) \(x^2 - 5x = 0\) ; b) \(x^2 - 49 = 0\) ; c) \(3x^2 = 12x\).
7 Sommet d’une parabole ★★★
Soit \(f(x) = x^2 - 8x + 11\). Calcule les coordonnées du sommet, donne l’équation de l’axe de symétrie et dis si \(f\) admet un minimum ou un maximum.
8 Équation avec fractions ★★★
Résous \(2x^2 + 3x - 2 = 0\).
9 Aucune solution ou racine double ★★★
Résous dans \(\mathbb{R}\) : a) \(x^2 - 6x + 10 = 0\) ; b) \(9x^2 + 12x + 4 = 0\).
10 Signe d’un trinôme de coefficient négatif ★★★
Soit \(g(x) = -x^2 + 2x + 8\). Calcule ses racines, factorise \(g(x)\), puis résous \(g(x) > 0\).
11 Une inéquation large ★★★
Résous \(x^2 - 3x - 10 \leq 0\) et représente l’ensemble des solutions sur une droite graduée.
12 Forme canonique et sens de variation ★★★
Mets \(3x^2 - 12x + 7\) sous forme canonique. Déduis-en le tableau de variations et le nombre de racines.
13 Le jardin rectangulaire ★★★
Un jardin rectangulaire a pour périmètre \(36\) m et pour aire \(77\) m². Calcule ses dimensions.
14 Somme et produit ★★★
a) Trouve deux nombres de somme \(10\) et de produit \(21\). b) Sachant que \(2\) est racine de \(x^2 - 7x + 10\), trouve l’autre racine sans discriminant.
15 Racine double et paramètre ★★★
Soit \(m\) un réel. On considère l’équation \(x^2 - 4x + m = 0\). Détermine les valeurs de \(m\) pour lesquelles elle a : a) deux solutions ; b) une seule ; c) aucune.
16 Le ballon ★★★
Un ballon est lancé depuis une hauteur de \(1{,}5\) m. Sa hauteur (en m) à l’instant \(t\) (en s) est \(h(t) = -5t^2 + 20t + 1{,}5\). Calcule la hauteur maximale atteinte, puis l’instant (arrondi au centième) où il touche le sol. Calculatrice autorisée.
17 Retrouver une fonction ★★★
Une parabole a pour sommet \(S(1\,;5)\) et passe par \(M(3\,;-3)\) (figure ci-dessous). Détermine l’expression de la fonction correspondante sous forme canonique puis développée.
18 Bénéfice d’une entreprise ★★★
Une petite entreprise fabrique \(x\) centaines de bougies par semaine, avec \(x \in [0\,;30]\). Son bénéfice en euros est \(B(x) = -2x^2 + 60x - 400\). Pour quelles quantités le bénéfice est-il positif ? Pour quelle quantité est-il maximal, et que vaut-il ?
19 Équation bicarrée ★★★
Résous dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) en posant \(X = x^2\).
20 Droite et parabole ★★★
On considère \(f(x) = x^2 - 2x - 1\) et \(g(x) = x + 3\). Détermine les points d’intersection de leurs courbes puis résous \(f(x) < g(x)\).
