Séries numériques : corrigé du contrôle de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Série géométrique / 3 pts

C’est \(3\) fois une série géométrique de raison \(q=-\frac14\) avec \(|q|<1\) : elle converge (1 pt).

\(\sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac1{1-q}=\frac1{5/4}=\frac45\) (1 pt), donc la somme vaut \(3\times\frac45=\frac{12}5\) (1 pt).

2 Télescopage / 3 pts

\(\frac1{(n+1)(n+2)}=\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\) (1 pt).

Donc \(S_N=\frac12-\frac1{N+2}\) (1 pt), qui tend vers \(\frac12\) : la série converge et sa somme vaut \(\frac12\) (1 pt).

3 Quatre natures / 4 pts

1. \(\frac{n+2}{n^3+4}\sim\frac1{n^2}\), Riemann convergente : converge (1 pt).
2. \(\frac1{n+\sqrt n}\sim\frac1n\), série harmonique : diverge (1 pt).
3. Rapport \(\frac7{n+1}\to0<1\) : d’Alembert, converge (1 pt).
4. \(\sqrt[n]{u_n}=\frac n{3n+1}\to\frac13<1\) : Cauchy, converge (1 pt).

4 Série alternée / 4 pts

1. La suite \(a_n=\frac1{n+1}\) est positive, décroissante, de limite \(0\) (1 pt) : le critère des séries alternées donne la convergence (1 pt).
2. \(\sum\frac1{n+1}\) diverge (équivalent à \(\frac1n\)) : la série n’est pas absolument convergente (1 pt).
3. \(|R_9|\le a_{10}=\frac1{11}\) (1 pt).

5 Équivalent et Riemann / 3 pts

1. \(\frac1{\sqrt[3]{n^2}}=n^{-2/3}\) avec \(\alpha=\frac23\le1\) : la série diverge (1 pt).
2. \(1-\cos x\sim\frac{x^2}2\) en \(0\) : \(1-\cos\frac1n\sim\frac1{2n^2}\) (1 pt), termes positifs, série de Riemann convergente : la série converge (1 pt).

6 Produit de Cauchy / 3 pts

Les deux séries sont géométriques de raisons \(\frac14\) et \(\frac15\) de valeur absolue \(<1\) : elles sont absolument convergentes (1 pt).

Le théorème du produit de Cauchy assure que \(\sum c_n\) converge (1 pt) et que \(\sum c_n=\frac1{1-1/4}\times\frac1{1-1/5}=\frac43\times\frac54=\frac53\) (1 pt).