Groupes, anneaux et corps : corrigé du contrôle de maths Licence L3

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Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice autorisée seulement quand l’énoncé le précise.

Sommaire

\(H=\{0,6,12,18,24\}\), d’ordre 5. (1 pt)
\(|G/H|=30/5=6\). La classe de 1 engendre le quotient, qui est cyclique d’ordre 6 : \(G/H\cong\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\). (1 pt)
\(k\cdot4\in H\) équivaut à \(6\mid4k\) (puisque \(6\mid30\)), soit \(3\mid2k\), soit \(3\mid k\). Le plus petit \(k\ge1\) est 3 : l’ordre vaut 3. (1 pt)
\(4+H=\{4,10,16,22,28\}\). (1 pt)

La transposition \((2\,3)\) envoie \(\{12|34\}\) sur \(\{13|24\}=b\) et \((2\,4)\) l’envoie sur \(\{14|32\}=c\). L’orbite contient \(a,b,c\) : c’est \(X\). (1,5 pt)
\(|G_a|=24/3=8\). (1 pt)
Par exemple \((1\,2)\), \((3\,4)\) et \((1\,3)(2\,4)\) : le premier échange 1 et 2 sans changer la paire \(\{1,2\}\), le second laisse la paire \(\{3,4\}\) invariante et le troisième échange les deux paires. (1,5 pt)

\(45=9\times5\). \(n_5\mid9\) donc \(n_5\in\{1,3,9\}\), et \(n_5\equiv1\pmod5\) : \(3\) et \(9\) ne conviennent pas (\(3\equiv3\), \(9\equiv4\)). Donc \(n_5=1\). (1,5 pt)
\(n_3\mid5\) donc \(n_3\in\{1,5\}\), et \(n_3\equiv1\pmod3\) : \(5\equiv2\) ne convient pas. Donc \(n_3=1\). (1 pt)
Les deux Sylow \(P\) (ordre 9) et \(Q\) (ordre 5) sont distingués et d’intersection triviale, donc \(G\cong P\times Q\). Comme \(P\) (ordre \(3^2\)) et \(Q\) (ordre premier) sont abéliens, \(G\) est abélien. (1,5 pt)

\(10=(3+i)(3-i)\in I\). (1 pt)
Comme \((-3)^2=9\equiv-1\pmod{10}\), \(\varphi\) respecte \(i^2=-1\) et donc les produits ; pour \(a\in\mathbb{Z}\), \(\varphi(a)=a\bmod10\), d’où la surjectivité. (1 pt)
\(\varphi(3+i)=3-3=0\) donne \(I\subset\ker\varphi\). Réciproquement, si \(a\equiv3b\pmod{10}\) : \(\dfrac{a+bi}{3+i}=\dfrac{(a+bi)(3-i)}{10}=\dfrac{(3a+b)+(3b-a)i}{10}\) avec \(3a+b\equiv10b\equiv0\) et \(3b-a\equiv0\) modulo 10 ; le quotient est dans \(\mathbb{Z}[i]\). Donc \(\ker\varphi=I\) et \(\mathbb{Z}[i]/I\cong\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}\). (1,5 pt)
Non : \(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}\) a des diviseurs de zéro (\(2\times5=0\)). L’élément \(3+i\) n’est pas irréductible. (0,5 pt)

Avec \(p=3\) : 3 divise \(0\), \(-9\) et 3, ne divise pas 1, et \(9\nmid3\). Eisenstein donne l’irréductibilité. (1,5 pt)
\(P\) irréductible implique que \(K\) est un corps de degré \(\deg P=3\) sur \(\mathbb{Q}\), de base \((1,x,x^2)\) où \(x\) est la classe de \(X\). (1 pt)
On a \(2^2+2+1=7\equiv0\) et \(4^2+4+1=21\equiv0\). Donc 2 et 4 sont racines et \(X^2+X+1=(X-2)(X-4)\) car \(-6\equiv1\) et \(8\equiv1\pmod 7\). (1,5 pt)

Entraîne-toi : défi express de Licence L3