Probabilités sur un univers dénombrable : exercices corrigés de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Une loi en k² ★★★

La somme des probabilités vaut 1 : \( c(1+4+9+16)=30c=1 \), donc \( c=\dfrac1{30} \).

\( \mathbb{P}(k\ge3)=\dfrac{9+16}{30}=\dfrac{25}{30}=\dfrac56 \).

2 Tirage de deux boules ★★★

Il y a \( \binom{10}{2}=45 \) tirages équiprobables. Deux rouges : \( \binom52=10 \) tirages, soit \( \dfrac{10}{45}=\dfrac29 \).

Même couleur : \( 10+\binom32+\binom22=10+3+1=14 \), donc la probabilité vaut \( \dfrac{14}{45} \).

3 Indépendance sur un dé ★★★

\( \mathbb{P}(A)=\dfrac12 \), \( \mathbb{P}(B)=\dfrac46=\dfrac23 \), \( A\cap B=\{4,6\} \) donc \( \mathbb{P}(A\cap B)=\dfrac13=\dfrac12\times\dfrac23 \) : \( A \) et \( B \) sont indépendants.

\( \mathbb{P}(D)=\dfrac12 \), \( A\cap D=\{4,6\} \), \( \mathbb{P}(A\cap D)=\dfrac13\ne\dfrac14=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(D) \) : \( A \) et \( D \) ne sont pas indépendants.

4 Vrai ou faux sur une réunion ★★★

(a) Faux en général : \( \mathbb{P}(A\cup B)=0{,}8-\mathbb{P}(A\cap B) \), égal à 0,8 seulement si \( A \) et \( B \) sont incompatibles.

(b) Vrai : \( \mathbb{P}(A\cup B)\ge\mathbb{P}(B)=0{,}5 \) et, par sous-additivité, \( \le0{,}8 \).

(c) Vrai : \( A\cap B\subset A \).

5 Espérance et variance d’une loi donnée ★★★

\( \mathbb{E}(X)=0{,}4+0{,}6+0{,}6=1{,}6 \). \( \mathbb{E}(X^2)=0{,}4+1{,}2+1{,}8=3{,}4 \).

\( \operatorname{Var}(X)=3{,}4-1{,}6^2=3{,}4-2{,}56=0{,}84 \).

6 Questionnaire au hasard ★★★

Les 12 réponses sont indépendantes et chacune est exacte avec la probabilité \( \tfrac14 \) : \( X\sim\mathcal{B}(12,\tfrac14) \).

\( \mathbb{E}(X)=12\times\tfrac14=3 \), \( \operatorname{Var}(X)=12\times\tfrac14\times\tfrac34=\tfrac94 \).

\( \mathbb{P}(X=0)=\big(\tfrac34\big)^{12}\approx0{,}032 \).

7 Une première borne de Markov ★★★

\( X\ge0 \), donc par Markov \( \mathbb{P}(X\ge12)\le\dfrac4{12}=\dfrac13 \).

Par passage au complémentaire, \( \mathbb{P}(X<12)\ge\dfrac23 \).

8 Dépistage ★★★

Notons \( M \) « atteint » et \( T \) « test positif ». Par les probabilités totales : \( \mathbb{P}(T)=0{,}02\times0{,}95+0{,}98\times0{,}04=0{,}019+0{,}0392=0{,}0582 \).

Par Bayes : \( \mathbb{P}(M\mid T)=\dfrac{0{,}019}{0{,}0582}=\dfrac{95}{291}\approx0{,}327 \). Moins d’un test positif sur trois correspond à une personne atteinte, car la maladie est rare.

9 Pile attendu ★★★

\( X\sim\mathcal{G}(0{,}2) \). \( \mathbb{P}(X=3)=0{,}2\times0{,}8^2=0{,}128 \). \( \mathbb{P}(X>5)=0{,}8^5=0{,}32768 \) (cinq échecs de suite). \( \mathbb{E}(X)=\dfrac1{0{,}2}=5 \).

\( \mathbb{P}(X>7\mid X>2)=\dfrac{0{,}8^7}{0{,}8^2}=0{,}8^5=0{,}32768 \) : absence de mémoire.

10 Avis rares ★★★

\( \mathbb{P}(X=0)=e^{-2{,}5}\approx0{,}082 \). \( \mathbb{P}(X\ge1)=1-e^{-2{,}5}\approx0{,}918 \).

\( \mathbb{P}(X=2)=e^{-2{,}5}\dfrac{2{,}5^2}{2}=3{,}125\,e^{-2{,}5}\approx0{,}257 \).

11 Deux à deux mais pas mutuellement ★★★

\( \mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(B)=\dfrac12 \) et \( \mathbb{P}(C)=\dfrac{18}{36}=\dfrac12 \).

\( \mathbb{P}(A\cap B)=\dfrac14 \). Si \( A \) et \( C \) ont lieu, le premier est pair et la somme est paire donc le second est pair : \( A\cap C=A\cap B \), de probabilité \( \dfrac14 \). De même \( \mathbb{P}(B\cap C)=\dfrac14 \). Les produits valent \( \dfrac14 \) : indépendance deux à deux.

Mais \( A\cap B\cap C=A\cap B \) a pour probabilité \( \dfrac14\ne\dfrac18=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C) \) : pas mutuellement indépendants.

12 Fonction génératrice d’une loi ★★★

\( G(s)=\dfrac{1+3s+3s^2+s^3}{8} \). Par unicité des coefficients : \( \mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=3)=\tfrac18 \), \( \mathbb{P}(X=1)=\mathbb{P}(X=2)=\tfrac38 \) : c’est \( \mathcal{B}(3,\tfrac12) \).

\( G'(s)=\dfrac{3(1+s)^2}{8} \), \( G'(1)=\dfrac{12}{8}=\dfrac32 \). \( G''(s)=\dfrac{6(1+s)}{8} \), \( G''(1)=\dfrac32 \).

\( \operatorname{Var}(X)=\dfrac32+\dfrac32-\dfrac94=\dfrac34 \).

13 Combinaison de variables indépendantes ★★★

Linéarité : \( \mathbb{E}(Z)=3\times2-2\times(-1)+5=13 \).

Indépendance : \( \operatorname{Var}(Z)=3^2\times4+(-2)^2\times9=36+36=72 \).

14 Combien de lancers ? ★★★

(a) Bienaymé-Tchebychev : \( \mathbb{P}(|X-120|\ge10)\le\dfrac{16}{100}=0{,}16 \).

(b) Ici \( \sigma^2=0{,}3\times0{,}7=0{,}21 \). La loi faible donne \( \mathbb{P}(|S_n/n-0{,}3|\ge0{,}05)\le\dfrac{0{,}21}{n\times0{,}0025}=\dfrac{84}{n} \). Il suffit que \( \dfrac{84}{n}\le0{,}1 \), soit \( n\ge840 \). Avec \( n=840 \) la probabilité cherchée est au moins 0,9.

15 Minimum de deux temps d’attente ★★★

\( \{M>k\}=\{X>k\}\cap\{Y>k\} \). Par indépendance, \( \mathbb{P}(M>k)=\big(\tfrac23\big)^k\big(\tfrac23\big)^k=\big(\tfrac49\big)^k \).

Donc \( \mathbb{P}(M=k)=\mathbb{P}(M>k-1)-\mathbb{P}(M>k)=\big(\tfrac49\big)^{k-1}\times\tfrac59 \) : \( M\sim\mathcal{G}(5/9) \) et \( \mathbb{E}(M)=\dfrac95 \).

16 Somme de deux lois de Poisson ★★★

\( G_X(s)=e^{1{,}5(s-1)} \), \( G_Y(s)=e^{2{,}5(s-1)} \). Par indépendance, \( G_{X+Y}(s)=e^{4(s-1)} \), qui est la fonction génératrice de \( \mathcal{P}(4) \). L’unicité donne \( X+Y\sim\mathcal{P}(4) \).

\( \mathbb{P}(X+Y=3)=e^{-4}\dfrac{4^3}{3!}=\dfrac{32}{3}e^{-4}\approx0{,}195 \).

17 Espérance par les queues ★★★

(a) \( X=\sum_{k\ge1}\mathbf{1}_{\{X\ge k\}} \) ; tous les termes sont positifs, on intervertit espérance et somme (théorème de Tonelli) : \( \mathbb{E}(X)=\sum_{k\ge1}\mathbb{P}(X\ge k) \).

(b) \( \mathbb{P}(\max\ge k)=1-\big(\tfrac{k-1}6\big)^2 \) pour \( 1\le k\le6 \). Les valeurs sont \( \tfrac{36}{36},\tfrac{35}{36},\tfrac{32}{36},\tfrac{27}{36},\tfrac{20}{36},\tfrac{11}{36} \), de somme \( \dfrac{161}{36}\approx4{,}47 \).

18 Points fixes d’une permutation ★★★

Soit \( X=\sum_{i=1}^n\mathbf{1}_i \) où \( \mathbf{1}_i \) vaut 1 si \( i \) est fixe. \( \mathbb{P}(i\text{ fixe})=\dfrac{(n-1)!}{n!}=\dfrac1n \), donc \( \mathbb{E}(X)=n\times\dfrac1n=1 \).

Pour \( i\ne j \), \( \mathbb{P}(i,j\text{ fixes})=\dfrac{(n-2)!}{n!}=\dfrac1{n(n-1)} \), donc \( \mathbb{E}(X(X-1))=\sum_{i\ne j}\dfrac1{n(n-1)}=1 \). Ainsi \( \mathbb{E}(X^2)=2 \) et \( \operatorname{Var}(X)=2-1=1 \).

19 Un lemme de Borel-Cantelli ★★★

L’événement « une infinité de \( A_n \) se réalisent » est \( \bigcap_{N}\bigcup_{n\ge N}A_n \). Pour tout \( N\ge2 \), par sous-additivité, \( \mathbb{P}\big(\bigcup_{n\ge N}A_n\big)\le\sum_{n\ge N}\dfrac1{n^2}\le\sum_{n\ge N}\dfrac1{n(n-1)}=\dfrac1{N-1} \).

La suite \( \big(\bigcup_{n\ge N}A_n\big)_N \) est décroissante ; par continuité, la probabilité de l’intersection est la limite des \( \mathbb{P}\big(\bigcup_{n\ge N}A_n\big) \), toutes majorées par \( \dfrac1{N-1} \) qui tend vers 0 : elle est donc nulle. Le complémentaire est de probabilité 1.

20 Moments de la loi géométrique ★★★

(a) \( G_X(s)=\sum_{k\ge1}pq^{k-1}s^k=ps\sum_{j\ge0}(qs)^j=\dfrac{ps}{1-qs} \).

(b) \( G_X'(s)=\dfrac{p}{(1-qs)^2} \), \( G_X'(1)=\dfrac p{p^2}=\dfrac1p \). \( G_X''(s)=\dfrac{2pq}{(1-qs)^3} \), \( G_X''(1)=\dfrac{2q}{p^2} \). Alors \( \operatorname{Var}(X)=\dfrac{2q}{p^2}+\dfrac1p-\dfrac1{p^2}=\dfrac{2q+p-1}{p^2}=\dfrac q{p^2} \).

(c) \( \mathbb{E}(X)=4 \) et \( \operatorname{Var}(X)=\dfrac{3/4}{1/16}=12 \).

21 Amincissement d’une loi de Poisson ★★★

Sachant \( N=n \), \( K\sim\mathcal{B}(n,\tfrac13) \), donc \( \mathbb{E}(s^K\mid N=n)=\big(\tfrac23+\tfrac s3\big)^n \).

Par probabilités totales, \( G_K(s)=\sum_n\mathbb{P}(N=n)\big(\tfrac23+\tfrac s3\big)^n=G_N\big(\tfrac23+\tfrac s3\big)=e^{6(\frac23+\frac s3-1)}=e^{2(s-1)} \).

C’est la fonction génératrice de \( \mathcal{P}(2) \), donc \( K\sim\mathcal{P}(2) \) et \( \mathbb{P}(K=0)=e^{-2}\approx0{,}135 \).