Réduction des endomorphismes : exercices de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Un vecteur propre est-il propre ? ★★★

Soit \(M = \begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}\). Montrer que \(u = (1,1)\) est un vecteur propre de \(M\) et donner la valeur propre associée. Le vecteur \(w = (1,2)\) est-il un vecteur propre de \(M\) ?

2 Polynôme caractéristique d’une matrice 2×2 ★★★

Soit \(N = \begin{pmatrix}5&-2\\1&2\end{pmatrix}\). Calculer \(\chi_N\), en déduire les valeurs propres de \(N\), puis une base de chaque sous-espace propre.

3 Valeurs propres d’une matrice triangulaire ★★★

Soit \(T = \begin{pmatrix}2&5&-1\\0&-3&4\\0&0&7\end{pmatrix}\). Donner sans calcul long les valeurs propres de \(T\), sa trace et son déterminant. Cette matrice est-elle diagonalisable ?

4 Vrai ou faux avec justification ★★★

Dire, en justifiant, si chaque affirmation est vraie ou fausse pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

1. Si \(0\) est valeur propre de \(A\), alors \(A\) n’est pas inversible.
2. Un même vecteur propre peut être associé à deux valeurs propres distinctes.
3. Toute matrice \(2 \times 2\) réelle possède une valeur propre réelle.

5 Calculer une puissance par diagonalisation ★★★

On donne \(M = \begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}\), \(P = \begin{pmatrix}1&2\\1&-3\end{pmatrix}\) et \(D = \mathrm{diag}(3,-2)\). Vérifier que \(MP = PD\), puis calculer \(M^4\).

6 Une suite à vérifier ★★★

Montrer que la suite \(v_n = 3^n + 4^n\) vérifie \(v_{n+2} = 7v_{n+1} - 12v_n\) pour tout \(n\), et préciser \(v_0\) et \(v_1\). Quelles sont les racines du polynôme \(x^2 - 7x + 12\) ?

7 Valeurs propres d’une matrice compagnon ★★★

Soit \(K = \begin{pmatrix}0&1\\-6&5\end{pmatrix}\). Calculer son polynôme caractéristique, puis vérifier que \((1,\lambda)\) est un vecteur propre associé à chaque valeur propre \(\lambda\).

8 Diagonaliser une matrice 3×3 ★★★

Soit \(B_2 = \begin{pmatrix}2&0&1\\0&3&0\\1&0&2\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_{B_2}\).
2. Déterminer les sous-espaces propres.
3. Conclure sur la diagonalisabilité et donner \(P\) et \(D\) avec \(B_2 = PDP^{-1}\).

9 Une matrice non diagonalisable ★★★

Soit \(C_1 = \begin{pmatrix}5&1\\-4&1\end{pmatrix}\). Calculer son polynôme caractéristique, déterminer son unique sous-espace propre et montrer que \(C_1\) n’est pas diagonalisable.

10 Trigonaliser ★★★

Avec la matrice \(C_1\) de l’exercice précédent, trouver une matrice inversible \(P\) telle que \(P^{-1}C_1P\) soit triangulaire supérieure. On prendra \(u = (1,-2)\) pour premier vecteur.

11 Étude avec un paramètre ★★★

Pour \(a \in \mathbb{R}\), soit \(M_a = \begin{pmatrix}1&1\\a&1\end{pmatrix}\). Discuter, selon \(a\), la diagonalisabilité de \(M_a\) sur \(\mathbb{R}\).

12 Inverse par Cayley-Hamilton ★★★

Pour \(N = \begin{pmatrix}5&-2\\1&2\end{pmatrix}\), écrire la relation de Cayley-Hamilton et en déduire \(N^{-1}\). Vérifier le résultat.

13 Puissances par polynôme annulateur ★★★

Soit \(S = \begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}\). Montrer que \(S^2 = 3S - 2I\), puis trouver, par division euclidienne de \(x^n\) par \((x-1)(x-2)\), une expression de \(S^n\).

14 Une suite par réduction ★★★

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\), \(u_1 = 5\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n\). Écrire la matrice compagnon, la diagonaliser et en déduire \(u_n\).

15 Spectre d’une fonction de matrice ★★★

Une matrice \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) a pour valeurs propres \(1\), \(2\) et \(4\). Calculer \(\operatorname{tr}(A)\), \(\det(A)\), \(\operatorname{tr}(A^{-1})\) et \(\det(A^2 + I)\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

16 Deux populations en interaction ★★★

Dans un jeu en ligne, deux sortes de jetons évoluent chaque semaine selon \(x_{n+1} = x_n + 2y_n\) et \(y_{n+1} = 3x_n\), avec \(x_0 = 5\) et \(y_0 = 0\). Donner \(x_n\) et \(y_n\) en fonction de \(n\), puis la limite de \(x_n / y_n\).

17 Réduction et polynôme minimal ★★★

Soit \(K_3 = \begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}\). Calculer \(\chi_{K_3}\), la dimension de \(\ker(K_3 - 2I)\), puis le polynôme minimal. Conclure sur la diagonalisabilité.

18 Projecteur et diagonalisation ★★★

Soit \(P_0 = \begin{pmatrix}2&-2\\1&-1\end{pmatrix}\). Montrer que \(P_0^2 = P_0\), en déduire que \(P_0\) est diagonalisable, donner ses valeurs propres possibles, puis ses sous-espaces propres effectifs.

19 Valeurs propres complexes ★★★

Soit \(Z = \begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}\). Montrer que \(Z\) n’a pas de valeur propre réelle, qu’elle est diagonalisable sur \(\mathbb{C}\), puis calculer \(Z^4\) sans diagonaliser.

20 Suite d’ordre trois ★★★

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\), \(u_1 = 1\), \(u_2 = 5\) et \(u_{n+3} = 6u_{n+2} - 11u_{n+1} + 6u_n\). Écrire la matrice compagnon \(Q\) agissant sur \((u_n, u_{n+1}, u_{n+2})\), factoriser \(\chi_Q\), puis trouver \(u_n\). Calculer enfin \(u_{10}\).

21 Démonstration : vecteurs propres libres ★★★

Soit \(f\) un endomorphisme et \(v_1, v_2\) des vecteurs propres associés à \(\lambda_1 \neq \lambda_2\). Démontrer que \((v_1, v_2)\) est libre. Que peut-on en déduire pour un endomorphisme d’un espace de dimension \(2\) ayant deux valeurs propres distinctes ?