Probabilités sur un univers dénombrable : corrigé du contrôle de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Lots de composants / 4 pts

(a) \( F_1,F_2,F_3 \) forment un système complet. \( \mathbb{P}(NC)=0{,}5\times0{,}01+0{,}3\times0{,}02+0{,}2\times0{,}05=0{,}005+0{,}006+0{,}01=0{,}021 \). (2 pts)

(b) Bayes : \( \mathbb{P}(F_3\mid NC)=\dfrac{0{,}01}{0{,}021}=\dfrac{10}{21}\approx0{,}476 \). (2 pts)

2 Un jeu de dé / 4 pts

(a) \( \mathbb{P}(X=-3)=\tfrac12 \), \( \mathbb{P}(X=2)=\tfrac13 \), \( \mathbb{P}(X=10)=\tfrac16 \). (1 pt)

(b) \( \mathbb{E}(X)=-\tfrac32+\tfrac23+\tfrac{10}6=\tfrac56 \). (1 pt)

(c) \( \mathbb{E}(X^2)=\tfrac92+\tfrac43+\tfrac{100}6=\tfrac{45}{2} \) (1 pt), donc \( \operatorname{Var}(X)=\tfrac{45}2-\tfrac{25}{36}=\tfrac{785}{36} \). (1 pt)

3 Un lot de quarante pièces / 4 pts

(a) \( X\sim\mathcal{B}(40;0{,}1) \), \( \mathbb{E}(X)=4 \), \( \operatorname{Var}(X)=40\times0{,}1\times0{,}9=3{,}6 \). (1 pt)

(b) \( \mathbb{P}(X\ge20)\le\dfrac4{20}=\dfrac15 \). (1 pt)

(c) \( \mathbb{P}(|X-4|\ge6)\le\dfrac{3{,}6}{36}=0{,}1 \). (1 pt)

(d) \( \mathbb{P}(X=0)=0{,}9^{40}\approx0{,}015 \). (1 pt)

4 Somme de lois de Poisson / 4 pts

(a) \( G_X(s)=e^{2(s-1)} \), \( G_Y(s)=e^{3(s-1)} \). (1 pt)

(b) Indépendance : \( G_{X+Y}(s)=e^{5(s-1)} \). (1 pt)

(c) \( X+Y\sim\mathcal{P}(5) \) ; \( \mathbb{P}(X+Y=2)=e^{-5}\dfrac{25}2\approx0{,}084 \). (1 pt)

(d) Espérance et variance valent 5. (1 pt)

5 Fréquence de piles / 4 pts

(a) \( S_n\sim\mathcal{B}(n,\tfrac12) \) : \( \mathbb{E}(S_n/n)=\tfrac12 \) (1 pt) et \( \operatorname{Var}(S_n/n)=\dfrac{n/4}{n^2}=\dfrac1{4n} \). (1 pt)

(b) Bienaymé-Tchebychev : \( \le\dfrac{1/(4n)}{0{,}01}=\dfrac{25}n \). (1 pt)

(c) \( \dfrac{25}n\le0{,}01\iff n\ge2500 \). (1 pt)