1 Lots de composants / 4 pts
Un atelier reçoit ses composants de trois fournisseurs : \( F_1 \) livre 50 % des lots, \( F_2 \) 30 % et \( F_3 \) 20 %. Les proportions de composants non conformes sont respectivement 1 %, 2 % et 5 %. On choisit un composant au hasard.
- Calculer la probabilité qu’il soit non conforme.
- Il est non conforme : quelle est la probabilité qu’il vienne de \( F_3 \) ?
2 Un jeu de dé / 4 pts
Un joueur lance un dé équilibré. Il perd 3 € avec 1, 2 ou 3 ; il gagne 2 € avec 4 ou 5 ; il gagne 10 € avec 6. Soit \( X \) son gain algébrique.
- Donner la loi de \( X \).
- Calculer \( \mathbb{E}(X) \).
- Calculer \( \operatorname{Var}(X) \).
3 Un lot de quarante pièces / 4 pts
Calculatrice autorisée. Dans un lot, chaque pièce est indépendamment défectueuse avec la probabilité 0,1. On examine 40 pièces ; \( X \) est le nombre de pièces défectueuses.
- Donner la loi de \( X \), \( \mathbb{E}(X) \) et \( \operatorname{Var}(X) \).
- Majorer \( \mathbb{P}(X\ge20) \) par l’inégalité de Markov.
- Majorer \( \mathbb{P}(|X-4|\ge6) \) par Bienaymé-Tchebychev.
- Calculer \( \mathbb{P}(X=0) \) à \( 10^{-3} \) près.
4 Somme de lois de Poisson / 4 pts
Calculatrice autorisée. Soit \( X\sim\mathcal{P}(2) \) et \( Y\sim\mathcal{P}(3) \) indépendantes.
- Donner \( G_X \) et \( G_Y \).
- En déduire \( G_{X+Y} \).
- Identifier la loi de \( X+Y \) et calculer \( \mathbb{P}(X+Y=2) \).
- Donner \( \mathbb{E}(X+Y) \) et \( \operatorname{Var}(X+Y) \).
5 Fréquence de piles / 4 pts
Une pièce équilibrée est lancée \( n \) fois ; \( S_n \) est le nombre de piles.
- Calculer \( \mathbb{E}(S_n/n) \) et \( \operatorname{Var}(S_n/n) \).
- Majorer \( \mathbb{P}(|S_n/n-\tfrac12|\ge0{,}1) \) en fonction de \( n \).
- Déterminer \( n \) pour que cette probabilité soit au plus 0,01.
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