Espaces vectoriels et applications linéaires : exercices de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Sous-espaces ou non ? ★★★

Dites si chaque partie de \(\mathbb{R}^2\) est un sous-espace vectoriel, en justifiant.

1. \(A=\{(x,y) : x+y=0\}\)
2. \(B=\{(x,y) : x+y=1\}\)
3. \(C=\{(x,y) : xy=0\}\)
4. \(D=\{(x,y) : x\geq0\}\)

2 Combinaisons linéaires ★★★

Dans \(\mathbb{R}^3\), soit \(v=(1,2,3)\) et \(w=(2,-1,0)\).

1. Calculer \(2v-3w\).
2. Le vecteur \((5,0,3)\) appartient-il à \(\operatorname{Vect}(v,w)\) ? Et \((5,3,3)\) ?

3 Famille libre ou liée ★★★

Dans \(\mathbb{R}^2\), les familles suivantes sont-elles libres ?

1. \(((1,2),(3,6))\)
2. \(((2,1),(1,3))\)
3. \(((1,0),(0,1),(1,1))\)

4 Calculer des dimensions ★★★

Donner la dimension de : a) \(\mathbb{R}_3[X]\) ; b) \(\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})\) ; c) \(\mathbb{C}\) vu comme \(\mathbb{R}\)-espace ; d) \(\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 : x=t\}\).

5 Linéaire ou pas ? ★★★

Parmi les applications de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^2\), lesquelles sont linéaires ?

1. \(f(x,y)=(2x-y,\ x+3y)\)
2. \(g(x,y)=(x+1,\ y)\)
3. \(h(x,y)=(xy,\ x)\)

Calculer ensuite \(f(2,1)\).

6 Un noyau et une image dans le plan ★★★

Soit \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(f(x,y)=(x-2y,\ -2x+4y)\). Déterminer \(\operatorname{Ker} f\), \(\operatorname{Im} f\) et vérifier le théorème du rang.

7 La dérivation des polynômes ★★★

Soit \(D:\mathbb{R}_2[X]\to\mathbb{R}_2[X]\), \(P\mapsto P'\). Montrer que \(D\) est linéaire, puis déterminer son noyau, son image et son rang.

8 Base d’un sous-espace de \(\mathbb{R}^4\) ★★★

Soit \(F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 : x+y=0\ \text{et}\ z-t=0\}\). Déterminer une base de \(F\) et sa dimension.

9 Famille liée dans \(\mathbb{R}^3\) ★★★

Soit \(u_1=(1,2,1)\), \(u_2=(2,1,0)\), \(u_3=(0,3,2)\). Montrer que la famille \((u_1,u_2,u_3)\) est liée, puis donner le rang de la famille et une base de \(\operatorname{Vect}(u_1,u_2,u_3)\).

10 Un plan et une droite supplémentaires ★★★

Dans \(\mathbb{R}^3\), soit \(F=\{(x,y,z) : x+y+z=0\}\) et \(G=\operatorname{Vect}((1,1,1))\). Montrer que \(\mathbb{R}^3=F\oplus G\), puis décomposer \((3,0,0)\).

11 Dimension d’une intersection ★★★

Soit \(F\) et \(G\) deux sous-espaces de \(\mathbb{R}^5\) de dimension 3. a) Quelle est la plus petite valeur possible de \(\dim(F\cap G)\) ? b) Si \(\dim(F\cap G)=1\), que vaut \(F+G\) ? c) Quelle est la plus grande valeur possible de \(\dim(F\cap G)\) ?

12 Noyau et image d’un endomorphisme ★★★

Soit \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\), \(f(x,y,z)=(x+y,\ y+z,\ x-z)\). Déterminer \(\operatorname{Ker} f\) et \(\operatorname{Im} f\). L’application est-elle injective ? surjective ?

13 Appliquer le théorème du rang ★★★

Que peut-on dire dans chaque cas ? a) \(f:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^3\) linéaire surjective : \(\dim\operatorname{Ker} f\) ? b) \(f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4\) linéaire injective : est-elle bijective ? c) \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^5\) linéaire : peut-elle être surjective ?

14 Interpolation et isomorphisme ★★★

Soit \(\varphi:\mathbb{R}_2[X]\to\mathbb{R}^3\), \(P\mapsto(P(0),P(1),P(2))\). a) Montrer que \(\varphi\) est linéaire et injective. b) En déduire que c’est un isomorphisme. c) Calculer \(\varphi(X^2)\).

15 Un supplémentaire dans \(\mathbb{R}^4\) ★★★

Soit \(F=\operatorname{Vect}((1,0,1,0),(0,1,0,1))\). Proposer un supplémentaire \(G\) de \(F\) dans \(\mathbb{R}^4\) et le justifier.

16 Un projecteur ★★★

Dans \(\mathbb{R}^2\), soit \(F=\operatorname{Vect}((1,1))\) et \(G=\operatorname{Vect}((1,2))\). a) Montrer que \(\mathbb{R}^2=F\oplus G\) et décomposer \((x,y)\). b) Soit \(p\) la projection sur \(F\) parallèlement à \(G\) : donner \(p(x,y)\), vérifier \(p\circ p=p\), puis déterminer \(\operatorname{Ker}p\) et \(\operatorname{Im}p\).

17 Rang d’une composée ★★★

Soit \(f:E\to F\) et \(g:F\to G\) linéaires, \(E\) de dimension finie. Montrer que \(\operatorname{Ker}f\subset\operatorname{Ker}(g\circ f)\) puis que \(\operatorname{rg}(g\circ f)\leq\min(\operatorname{rg}f,\operatorname{rg}g)\). Donner un exemple où \(\operatorname{rg}(g\circ f)<\operatorname{rg}f\) strictement.

18 Endomorphisme de carré nul ★★★

Soit \(u\) un endomorphisme d’un espace \(E\) de dimension \(n\) tel que \(u\circ u=0\). a) Montrer que \(\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Ker}u\). b) En déduire que \(\operatorname{rg}u\leq n/2\). c) Que dire pour \(n=5\) ? d) Vérifier avec \(u(x,y,z,t)=(z,t,0,0)\) sur \(\mathbb{R}^4\).

19 Hyperplan noyau d’une forme linéaire ★★★

Soit \(\varphi:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}\), \(\varphi(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1+2x_2-x_3+3x_4\). a) Montrer que \(\varphi\) est surjective et donner \(\dim\operatorname{Ker}\varphi\). b) Trouver une base de \(\operatorname{Ker}\varphi\). c) Plus généralement, quelle est la dimension du noyau d’une forme linéaire non nulle sur un espace de dimension \(n\) ?

20 Polynômes s’annulant en 1 ★★★

Dans \(E=\mathbb{R}_3[X]\), soit \(F=\{P\in E : P(1)=0\}\) et \(G\) l’ensemble des polynômes constants. a) Montrer que \(F\) est un sous-espace et calculer sa dimension. b) Montrer que \(E=F\oplus G\). c) Décomposer \(P=X^3\).