Nombres complexes et trigonométrie : exercices de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Opérations de base ★★★

On pose \(z_1 = 3 - 2\mathrm{i}\) et \(z_2 = 1 + 4\mathrm{i}\). Donner sous forme algébrique : a) \(z_1 + z_2\) et \(z_1 - z_2\) ; b) \(z_1 z_2\) ; c) \(\dfrac{z_1}{z_2}\).

2 Puissances de i ★★★

Calculer : a) \(\mathrm{i}^{2027}\) ; b) \((1+\mathrm{i})^8\) ; c) \(\mathrm{i}^{-5}\).

3 Calculs de modules ★★★

Calculer les modules de : a) \(3 - 4\mathrm{i}\) ; b) \(-5 + 12\mathrm{i}\) ; c) \(1 + \mathrm{i}\sqrt{3}\) ; d) \((2 + \mathrm{i})(3 - 4\mathrm{i})\) ; e) \(\dfrac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\).

4 Partie réelle et imaginaire ★★★

Soit \(z = \dfrac{2 + 3\mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}}\). Déterminer \(\operatorname{Re}(z)\), \(\operatorname{Im}(z)\) et \(\overline{z}\). Vérifier le résultat en calculant \(|z|^2\) de deux façons.

5 Premières formes exponentielles ★★★

Donner la forme exponentielle de : a) \(1 + \mathrm{i}\) ; b) \(-\sqrt{3} + \mathrm{i}\) ; c) \(-2\mathrm{i}\).

6 Vrai ou faux ? ★★★

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant. a) Pour tous \(z, z'\), \(|z + z'| = |z| + |z'|\). b) \(\overline{zz'} = \overline{z}\,\overline{z'}\). c) Pour tout \(z\), \(z + \overline{z}\) est réel. d) Pour tout réel \(\theta\), \(|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}| = 1\). e) Si \(z^2 = -4\), alors \(z = 2\mathrm{i}\).

7 Une équation avec conjugué ★★★

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(2z + \mathrm{i} = 3\overline{z} - 4\).

8 Deux grandes puissances ★★★

Calculer sous forme algébrique : a) \((1 + \mathrm{i}\sqrt{3})^6\) ; b) \((\sqrt{3} - \mathrm{i})^{10}\).

9 Formules de Moivre pour 3x ★★★

En développant \((\cos x + \mathrm{i}\sin x)^3\), exprimer \(\cos 3x\) en fonction de \(\cos x\), et \(\sin 3x\) en fonction de \(\sin x\).

10 Deux linéarisations ★★★

Linéariser : a) \(\cos^4 x\) ; b) \(\sin^3 x\).

11 Racines cubiques de l’unité ★★★

On note \(j = \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}\). a) Montrer que \(1 + j + j^2 = 0\) et que \(1 + j = -j^2\). b) Calculer \((1 + j)^9\). c) Calculer \(j^{2026}\).

12 Un trinôme à coefficients complexes ★★★

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 - (3 + \mathrm{i})z + (4 + 3\mathrm{i}) = 0\). On pourra remarquer que \((1 - 3\mathrm{i})^2 = -8 - 6\mathrm{i}\).

13 Une racine carrée complexe ★★★

Déterminer les complexes \(z\) tels que \(z^2 = -5 + 12\mathrm{i}\), en posant \(z = x + \mathrm{i}y\).

14 Image par une rotation ★★★

Dans le plan complexe, \(\Omega\) a pour affixe \(1 + 2\mathrm{i}\) et \(M\) pour affixe \(4 + \mathrm{i}\). Déterminer l’affixe du point \(N\) image de \(M\) par la rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\). Vérifier que \(\Omega N = \Omega M\).

15 Lieux géométriques ★★★

Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que : a) \(|z - \mathrm{i}| = |z + 2|\) ; b) \(|z - 1 + \mathrm{i}| = 3\).

16 Un triangle équilatéral ? ★★★

Soit \(A(1 + \mathrm{i})\), \(B(5 + \mathrm{i})\) et \(C(3 + (1 + 2\sqrt{3})\mathrm{i})\).

a) Calculer \(\dfrac{c - a}{b - a}\) sous forme exponentielle. b) En déduire la nature du triangle \(ABC\) et son périmètre.

17 Inverse et puissance d’un complexe ★★★

On cherche les complexes \(z\) tels que \(z + \dfrac{1}{z} = 1\). a) Résoudre cette équation. b) Pour \(z = \dfrac{1 + \mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\), calculer \(z^3\) puis \(z^{2026}\).

18 Les six racines de −64 ★★★

Résoudre \(z^6 = -64\) dans \(\mathbb{C}\). Donner les solutions sous forme exponentielle puis algébrique, et préciser la figure formée par les six points images.

19 Une somme binomiale trigonométrique ★★★

Pour \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(x\) réel, on pose \(S = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cos(kx)\). a) Montrer que \(1 + \mathrm{e}^{\mathrm{i}x} = 2\cos\dfrac{x}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}x/2}\). b) En déduire \(S = 2^n\cos^n\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{nx}{2}\). c) Calculer \(S\) pour \(n = 4\) et \(x = \dfrac{\pi}{2}\), et le vérifier directement.

20 Valeur exacte de cos(2π/5) ★★★

Soit \(\omega = \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/5}\) et \(c = \cos\dfrac{2\pi}{5}\). a) Montrer que \(1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0\). b) En regroupant les termes conjugués, montrer que \(4c^2 + 2c - 1 = 0\). c) En déduire \(c\).

21 Une équation à homographie ★★★

Résoudre dans \(\mathbb{C}\setminus\{\mathrm{i}\}\) l’équation \(\left(\dfrac{z + \mathrm{i}}{z - \mathrm{i}}\right)^3 = 1\). On posera \(\omega = \dfrac{z + \mathrm{i}}{z - \mathrm{i}}\).