Nombres complexes et trigonométrie : corrigé du contrôle de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Forme algébrique / 4 pts

a) \((5 - 2\mathrm{i})(1 + 3\mathrm{i}) = 5 + 15\mathrm{i} - 2\mathrm{i} + 6 = 11 + 13\mathrm{i}\) (1 pt).

b) \(\dfrac{(3 + 4\mathrm{i})(2 + \mathrm{i})}{5} = \dfrac{6 + 3\mathrm{i} + 8\mathrm{i} - 4}{5} = \dfrac{2 + 11\mathrm{i}}{5}\) (2 pts : conjugué 1 pt, calcul 1 pt).

c) \(\sqrt{36 + 64} = 10\) (1 pt).

2 Forme exponentielle et puissance / 3 pts

a) \(|z| = 2\) ; \(\cos\theta = -\dfrac12\), \(\sin\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(\theta = -\dfrac{2\pi}{3}\) (1 pt pour le module, 1 pt pour l’argument).

b) \(z = 2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\pi/3}\) (sans point supplémentaire : c’est la synthèse de a)).

c) \(z^9 = 2^9\mathrm{e}^{-\mathrm{i}6\pi} = 512\) (1 pt).

3 Équation du second degré / 4 pts

\(\Delta = (5 + \mathrm{i})^2 - 4(10 + 10\mathrm{i}) = 24 + 10\mathrm{i} - 40 - 40\mathrm{i} = -16 - 30\mathrm{i}\) (2 pts).

Avec \(\delta = 3 - 5\mathrm{i}\) (1 pt) : \(z = \dfrac{5 + \mathrm{i} \pm (3 - 5\mathrm{i})}{2}\), soit \(z = 4 - 2\mathrm{i}\) ou \(z = 1 + 3\mathrm{i}\) (1 pt).

4 Linéarisation / 3 pts

\(\sin^4 x = \dfrac{(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})^4}{16}\) (1 pt) \(= \dfrac{\mathrm{e}^{4\mathrm{i}x} - 4\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x} + 6 - 4\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-4\mathrm{i}x}}{16}\) (1 pt) \(= \dfrac{\cos 4x - 4\cos 2x + 3}{8}\) (1 pt).

5 Racines quatrièmes / 3 pts

\(-16 = 16\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}\), donc \(z_k = 2\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi/4 + k\pi/2)}\), \(k = 0, 1, 2, 3\) (1 pt).

\(z_0 = \sqrt{2}(1 + \mathrm{i})\), \(z_1 = \sqrt{2}(-1 + \mathrm{i})\), \(z_2 = \sqrt{2}(-1 - \mathrm{i})\), \(z_3 = \sqrt{2}(1 - \mathrm{i})\) (2 pts).

6 Un triangle rectangle isocèle / 3 pts

\(b - a = 4 + \mathrm{i}\) et \(c - a = -1 + 4\mathrm{i}\) (1 pt). \(\dfrac{c - a}{b - a} = \dfrac{(-1 + 4\mathrm{i})(4 - \mathrm{i})}{17} = \dfrac{-4 + \mathrm{i} + 16\mathrm{i} + 4}{17} = \mathrm{i}\) (1 pt).

Le quotient est \(\mathrm{i} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2}\) : \(AC = AB\) et \((AB) \perp (AC)\). Le triangle est rectangle isocèle en \(A\) (1 pt).