Nombres complexes et trigonométrie : exercices corrigés de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Opérations de base ★★★

a) \(z_1 + z_2 = 4 + 2\mathrm{i}\) et \(z_1 - z_2 = 2 - 6\mathrm{i}\).

b) \(z_1z_2 = 3 + 12\mathrm{i} - 2\mathrm{i} - 8\mathrm{i}^2 = 11 + 10\mathrm{i}\).

c) On multiplie par le conjugué \(1 - 4\mathrm{i}\) : \(\dfrac{(3 - 2\mathrm{i})(1 - 4\mathrm{i})}{1 + 16} = \dfrac{3 - 12\mathrm{i} - 2\mathrm{i} - 8}{17} = \dfrac{-5 - 14\mathrm{i}}{17}\).

2 Puissances de i ★★★

a) \(2027 = 4 \times 506 + 3\), donc \(\mathrm{i}^{2027} = \mathrm{i}^3 = -\mathrm{i}\).

b) \((1+\mathrm{i})^2 = 2\mathrm{i}\), donc \((1+\mathrm{i})^8 = (2\mathrm{i})^4 = 16\mathrm{i}^4 = 16\).

c) \(\mathrm{i}^{-5} = \dfrac{1}{\mathrm{i}^5} = \dfrac{1}{\mathrm{i}} = -\mathrm{i}\).

3 Calculs de modules ★★★

a) \(\sqrt{9+16} = 5\). b) \(\sqrt{25+144} = 13\). c) \(\sqrt{1+3} = 2\).

d) \(|2+\mathrm{i}|\,|3-4\mathrm{i}| = \sqrt{5} \times 5 = 5\sqrt{5}\).

e) \(\dfrac{|1+\mathrm{i}|}{|1-\mathrm{i}|} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1\).

4 Partie réelle et imaginaire ★★★

\(z = \dfrac{(2 + 3\mathrm{i})(1 + \mathrm{i})}{2} = \dfrac{2 + 2\mathrm{i} + 3\mathrm{i} - 3}{2} = \dfrac{-1 + 5\mathrm{i}}{2}\).

Donc \(\operatorname{Re}(z) = -\dfrac12\), \(\operatorname{Im}(z) = \dfrac52\) et \(\overline{z} = \dfrac{-1 - 5\mathrm{i}}{2}\).

Vérification : \(|z|^2 = \dfrac{1 + 25}{4} = \dfrac{13}{2}\) et \(\dfrac{|2+3\mathrm{i}|^2}{|1-\mathrm{i}|^2} = \dfrac{13}{2}\). Les deux valeurs coïncident.

5 Premières formes exponentielles ★★★

a) Module \(\sqrt{2}\), \(\cos\theta = \sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), donc \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) : \(1 + \mathrm{i} = \sqrt{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}\).

b) Module \(2\), \(\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin\theta = \dfrac12\), donc \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\) : \(-\sqrt{3} + \mathrm{i} = 2\mathrm{e}^{\mathrm{i}5\pi/6}\).

c) Module \(2\), \(\cos\theta = 0\), \(\sin\theta = -1\), donc \(\theta = -\dfrac{\pi}{2}\) : \(-2\mathrm{i} = 2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2}\).

6 Vrai ou faux ? ★★★

a) Faux : \(z = 1\), \(z' = -1\) donnent \(0 \neq 2\).

b) Vrai : propriété du conjugué d’un produit.

c) Vrai : \(z + \overline{z} = 2\operatorname{Re}(z)\).

d) Vrai : \(|\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta|^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\).

e) Faux : \(z = -2\mathrm{i}\) convient aussi, car \((-2\mathrm{i})^2 = -4\).

7 Une équation avec conjugué ★★★

On pose \(z = x + \mathrm{i}y\). L’équation devient \(2x + 2\mathrm{i}y + \mathrm{i} = 3x - 3\mathrm{i}y - 4\).

Parties réelles : \(2x = 3x - 4\), donc \(x = 4\). Parties imaginaires : \(2y + 1 = -3y\), donc \(y = -\dfrac15\).

Solution : \(z = 4 - \dfrac{\mathrm{i}}{5}\). Vérification : \(2z + \mathrm{i} = 8 + \dfrac{3\mathrm{i}}{5}\) et \(3\overline{z} - 4 = 8 + \dfrac{3\mathrm{i}}{5}\).

8 Deux grandes puissances ★★★

a) \(1 + \mathrm{i}\sqrt{3} = 2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}\), donc \((1 + \mathrm{i}\sqrt{3})^6 = 64\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi} = 64\).

b) \(\sqrt{3} - \mathrm{i} = 2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/6}\), donc \((\sqrt{3} - \mathrm{i})^{10} = 1024\mathrm{e}^{-\mathrm{i}5\pi/3} = 1024\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}\) car \(-\dfrac{5\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{\pi}{3}\). Ainsi le résultat est \(1024\left(\dfrac12 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right) = 512 + 512\sqrt{3}\,\mathrm{i}\).

9 Formules de Moivre pour 3x ★★★

D’après Moivre, \(\cos 3x + \mathrm{i}\sin 3x = (\cos x + \mathrm{i}\sin x)^3 = \cos^3 x + 3\mathrm{i}\cos^2 x\sin x - 3\cos x\sin^2 x - \mathrm{i}\sin^3 x\).

Partie réelle : \(\cos 3x = \cos^3 x - 3\cos x(1 - \cos^2 x) = 4\cos^3 x - 3\cos x\).

Partie imaginaire : \(\sin 3x = 3(1 - \sin^2 x)\sin x - \sin^3 x = 3\sin x - 4\sin^3 x\).

10 Deux linéarisations ★★★

a) \(\cos^4 x = \dfrac{(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})^4}{16} = \dfrac{\mathrm{e}^{4\mathrm{i}x} + 4\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x} + 6 + 4\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-4\mathrm{i}x}}{16} = \dfrac{2\cos 4x + 8\cos 2x + 6}{16} = \dfrac{\cos 4x + 4\cos 2x + 3}{8}\).

b) \(\sin^3 x = \dfrac{(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})^3}{(2\mathrm{i})^3} = \dfrac{\mathrm{e}^{3\mathrm{i}x} - 3\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + 3\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-3\mathrm{i}x}}{-8\mathrm{i}} = \dfrac{2\mathrm{i}\sin 3x - 6\mathrm{i}\sin x}{-8\mathrm{i}} = \dfrac{3\sin x - \sin 3x}{4}\).

11 Racines cubiques de l’unité ★★★

a) \(j^3 = 1\) et \(j \neq 1\), donc \(0 = j^3 - 1 = (j - 1)(1 + j + j^2)\) impose \(1 + j + j^2 = 0\). On en déduit \(1 + j = -j^2\).

b) \((1 + j)^9 = (-j^2)^9 = -j^{18} = -(j^3)^6 = -1\).

c) \(2026 = 3 \times 675 + 1\), donc \(j^{2026} = (j^3)^{675}\,j = j = -\dfrac12 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\).

12 Un trinôme à coefficients complexes ★★★

\(\Delta = (3 + \mathrm{i})^2 - 4(4 + 3\mathrm{i}) = 8 + 6\mathrm{i} - 16 - 12\mathrm{i} = -8 - 6\mathrm{i}\). Comme \((1 - 3\mathrm{i})^2 = 1 - 6\mathrm{i} - 9 = -8 - 6\mathrm{i}\), on prend \(\delta = 1 - 3\mathrm{i}\).

\(z = \dfrac{3 + \mathrm{i} \pm (1 - 3\mathrm{i})}{2}\), soit \(z = 2 - \mathrm{i}\) ou \(z = 1 + 2\mathrm{i}\).

Contrôle : la somme vaut \(3 + \mathrm{i}\) et le produit \((2 - \mathrm{i})(1 + 2\mathrm{i}) = 4 + 3\mathrm{i}\).

13 Une racine carrée complexe ★★★

On a \(|-5 + 12\mathrm{i}| = 13\). Le système \(x^2 - y^2 = -5\), \(x^2 + y^2 = 13\), \(2xy = 12\) donne \(x^2 = 4\) et \(y^2 = 9\).

Comme \(xy = 6 > 0\), \(x\) et \(y\) ont le même signe : \(z = 2 + 3\mathrm{i}\) ou \(z = -2 - 3\mathrm{i}\).

Vérification : \((2 + 3\mathrm{i})^2 = 4 + 12\mathrm{i} - 9 = -5 + 12\mathrm{i}\).

14 Image par une rotation ★★★

L’écriture complexe est \(z_N - \omega = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2}(z_M - \omega) = -\mathrm{i}\,(3 - \mathrm{i}) = -3\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = -1 - 3\mathrm{i}\).

Donc \(z_N = 1 + 2\mathrm{i} - 1 - 3\mathrm{i} = -\mathrm{i}\).

Vérification : \(\Omega M = |3 - \mathrm{i}| = \sqrt{10}\) et \(\Omega N = |-1 - 3\mathrm{i}| = \sqrt{10}\).

15 Lieux géométriques ★★★

a) Avec \(z = x + \mathrm{i}y\) : \(x^2 + (y - 1)^2 = (x + 2)^2 + y^2\), soit \(-2y + 1 = 4x + 4\), c’est-à-dire \(4x + 2y + 3 = 0\). C’est la médiatrice du segment joignant \(A(\mathrm{i})\) et \(B(-2)\).

b) \(|z - (1 - \mathrm{i})| = 3\) signifie que la distance de \(M\) au point d’affixe \(1 - \mathrm{i}\) vaut \(3\) : c’est le cercle de centre \((1, -1)\) et de rayon \(3\).

16 Un triangle équilatéral ? ★★★

a) \(c - a = 2 + 2\sqrt{3}\,\mathrm{i}\) et \(b - a = 4\), donc \(\dfrac{c - a}{b - a} = \dfrac{1 + \mathrm{i}\sqrt{3}}{2} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}\).

b) Le module vaut \(1\) : \(AC = AB\). L’argument vaut \(\dfrac{\pi}{3}\) : l’angle \(\widehat{BAC}\) mesure \(60°\). Un triangle isocèle ayant un angle de \(60°\) est équilatéral. Le périmètre est \(3 \times AB = 3 \times 4 = 12\).

17 Inverse et puissance d’un complexe ★★★

a) Pour \(z \neq 0\), l’équation équivaut à \(z^2 - z + 1 = 0\), de discriminant \(\Delta = -3\), donc \(z = \dfrac{1 \pm \mathrm{i}\sqrt{3}}{2} = \mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\pi/3}\).

b) Pour \(z = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}\), \(z^3 = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} = -1\), donc \(z^6 = 1\). Or \(2026 = 6 \times 337 + 4\), donc \(z^{2026} = z^4 = \mathrm{e}^{\mathrm{i}4\pi/3} = -\dfrac12 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\).

18 Les six racines de −64 ★★★

\(-64 = 64\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}\), donc \(z_k = 2\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi/6 + k\pi/3)}\) pour \(k = 0, \dots, 5\).

\(z_0 = \sqrt{3} + \mathrm{i}\) ; \(z_1 = 2\mathrm{i}\) ; \(z_2 = -\sqrt{3} + \mathrm{i}\) ; \(z_3 = -\sqrt{3} - \mathrm{i}\) ; \(z_4 = -2\mathrm{i}\) ; \(z_5 = \sqrt{3} - \mathrm{i}\).

Les six points sont sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(2\), séparés par des angles de \(\dfrac{\pi}{3}\) : ils forment un hexagone régulier. Contrôle : \((2\mathrm{i})^6 = 64\,\mathrm{i}^6 = -64\).

19 Une somme binomiale trigonométrique ★★★

a) \(1 + \mathrm{e}^{\mathrm{i}x} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}x/2}(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x/2} + \mathrm{e}^{\mathrm{i}x/2}) = 2\cos\dfrac{x}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}x/2}\).

b) Par le binôme, \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} = (1 + \mathrm{e}^{\mathrm{i}x})^n = 2^n\cos^n\dfrac{x}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}nx/2}\). \(S\) en est la partie réelle : \(S = 2^n\cos^n\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{nx}{2}\).

c) \(S = 16\cos^4\dfrac{\pi}{4}\cos\pi = 16 \times \dfrac14 \times (-1) = -4\). Directement : \(1 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 6 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = -4\).

20 Valeur exacte de cos(2π/5) ★★★

a) \(\omega^5 = 1\) et \(\omega \neq 1\), donc \((\omega - 1)(1 + \omega + \dots + \omega^4) = 0\) impose la somme nulle.

b) \(\omega^4 = \overline{\omega}\) et \(\omega^3 = \overline{\omega^2}\). Donc \(1 + 2\cos\dfrac{2\pi}{5} + 2\cos\dfrac{4\pi}{5} = 0\). Avec \(\cos 2a = 2\cos^2 a - 1\) : \(\cos\dfrac{4\pi}{5} = 2c^2 - 1\), d’où \(1 + 2c + 4c^2 - 2 = 0\), soit \(4c^2 + 2c - 1 = 0\).

c) \(\Delta = 4 + 16 = 20\), donc \(c = \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8}\). Comme \(\dfrac{2\pi}{5} < \dfrac{\pi}{2}\), \(c > 0\) : \(c = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}\).

21 Une équation à homographie ★★★

\(\omega^3 = 1\) donne \(\omega \in \{1, j, j^2\}\) avec \(j = \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}\). Or \(\omega = 1\) est impossible, car \(z + \mathrm{i} = z - \mathrm{i}\) n’a pas de solution.

Pour \(\omega \neq 1\) : \(z + \mathrm{i} = \omega z - \omega\mathrm{i}\), donc \(z = -\mathrm{i}\,\dfrac{1 + \omega}{1 - \omega}\).

Avec \(\omega = \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}\) : \(\dfrac{1 + \omega}{1 - \omega} = \dfrac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/3} + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}}{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/3} - \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}} = \dfrac{2\cos(\pi/3)}{-2\mathrm{i}\sin(\pi/3)} = \dfrac{\mathrm{i}}{\sqrt{3}}\), donc \(z = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Avec \(\omega = \overline{j}\), on obtient le conjugué du quotient, donc \(z = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).

Solutions : \(z = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).