Applications et relations : exercices corrigés de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Image et image réciproque d’une fonction affine ★★★

1. \( f(1)=-2 \), \( f(2)=1 \), \( f(4)=7 \) : \( f(\{1,2,4\})=\{-2,1,7\} \).
2. \( x\in f^{-1}([4,10])\iff 4\le 3x-5\le 10\iff 9\le 3x\le 15\iff 3\le x\le 5 \). Donc \( f^{-1}([4,10])=[3,5] \).
3. \( 3x-5=-5\iff x=0 \) : \( f^{-1}(\{-5\})=\{0\} \).

2 Les entiers impairs ★★★

Injective : si \( 2n+1=2m+1 \) alors \( n=m \).

Non surjective : \( 4=2n+1 \) donne \( n=\tfrac32\notin\mathbb{Z} \), donc \( 4 \) n’a pas d’antécédent.

\( f(\mathbb{Z}) \) est l’ensemble des entiers impairs. \( f(n)=7\iff n=3 \) et \( f(n)=10 \) est impossible (10 est pair), donc \( f^{-1}(\{7,10\})=\{3\} \).

3 Le carré, images et antécédents ★★★

1. Le minimum de \( x^2 \) sur \( [-2,3] \) est \( 0 \) (en \( 0 \)), le maximum est \( \max(4,9)=9 \). Par continuité, \( f([-2,3])=[0,9] \).
2. \( 1\le x^2\le4\iff 1\le|x|\le2 \), donc \( f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup[1,2] \).
3. Un carré n’est jamais strictement inférieur à \( -1 \) : \( f^{-1}(\,]-\infty,-1[\,)=\varnothing \).
4. \( x^2=0\iff x=0 \) : \( f^{-1}(\{0\})=\{0\} \).

4 Une application entre ensembles finis ★★★

\( f(\{1,3\})=\{b\} \) ; \( f^{-1}(\{b\})=\{1,3\} \) ; \( f^{-1}(\{a,c\})=\{2,4\} \).

Non injective : \( f(1)=f(3) \) avec \( 1\ne3 \). Surjective : \( a=f(2) \), \( b=f(1) \), \( c=f(4) \), donc tout élément de \( F \) a un antécédent.

5 Deux composées ★★★

\( (g\circ f)(1)=g(3)=9 \) et \( (f\circ g)(1)=f(1)=3 \).

\( (g\circ f)(x)=g(x+2)=(x+2)^2 \) et \( (f\circ g)(x)=f(x^2)=x^2+2 \). Elles sont différentes (déjà en \( x=1 \)) : la composition n’est pas commutative.

6 Parité et relation d’équivalence ★★★

Réflexive : \( x-x=0 \) est pair. Symétrique : si \( x-y \) est pair, \( y-x=-(x-y) \) l’est aussi. Transitive : si \( x-y \) et \( y-z \) sont pairs, \( x-z=(x-y)+(y-z) \) l’est aussi.

Classes : \( x\,\mathcal{R}\,y \) équivaut à « \( x \) et \( y \) ont la même parité ». Il y a deux classes : celle des pairs \( \overline{0} \) et celle des impairs \( \overline{1} \).

7 Restes dans une division ★★★

\( 3^6=729=7\times104+1\equiv1\ [7] \). Comme \( 20=6\times3+2 \), \( 3^{20}\equiv 3^2=9\equiv2\ [7] \). Reste : \( 2 \).

\( 15\equiv4 \), \( 17\equiv6 \), \( 23\equiv1\ [11] \), donc \( 15\times17+23\equiv 4\times6+1=25\equiv3\ [11] \). Contrôle : \( 278=11\times25+3 \). Reste : \( 3 \).

8 Une fonction rationnelle non injective ★★★

1. \( f(2)=\dfrac25 \) et \( f(\tfrac12)=\dfrac{1/2}{5/4}=\dfrac25 \). Deux antécédents distincts pour \( \tfrac25 \) : \( f \) n’est pas injective.
2. Soit \( y\in\mathbb{R} \). \( f(x)=y\iff yx^2-x+y=0 \). Si \( y=0 \), \( x=0 \) convient. Si \( y\ne0 \), l’équation du second degré a une solution réelle si et seulement si \( \Delta=1-4y^2\ge0\iff|y|\le\tfrac12 \). Donc \( y\in f(\mathbb{R})\iff|y|\le\tfrac12 \), c’est-à-dire \( f(\mathbb{R})=\left[-\tfrac12,\tfrac12\right] \).

9 Calculer une application réciproque ★★★

Pour \( y\ne2 \) : \( \dfrac{2x+1}{x-1}=y\iff 2x+1=yx-y\iff x(y-2)=y+1\iff x=\dfrac{y+1}{y-2} \). Cette solution existe et est unique, et elle est différente de \( 1 \) (sinon \( y+1=y-2 \)). Tout \( y\ne2 \) a donc exactement un antécédent dans \( \mathbb{R}\setminus\{1\} \) : \( f \) est bijective et \( f^{-1}(y)=\dfrac{y+1}{y-2} \).

Vérification : \( f(3)=\dfrac72 \) et \( f^{-1}(\tfrac72)=\dfrac{9/2}{3/2}=3 \).

10 Deux applications de N dans N ★★★

\( f \) : injective, non surjective (\( 0 \) n’a pas d’antécédent). \( g \) : surjective (\( g(2m)=m \)), non injective (\( g(2)=g(3)=1 \)).

\( (g\circ f)(n)=\lfloor (n+1)/2\rfloor \) : valeurs \( 0,1,1,2,2,\dots \) ; surjective, non injective. \( (f\circ g)(n)=\lfloor n/2\rfloor+1 \) : valeurs \( 1,1,2,2,\dots \) ; non injective et non surjective (\( 0 \) jamais atteint).

11 Image d’une intersection ★★★

Soit \( y\in f(A_1\cap A_2) \) : il existe \( x\in A_1\cap A_2 \) avec \( y=f(x) \). Comme \( x\in A_1 \), \( y\in f(A_1) \) ; comme \( x\in A_2 \), \( y\in f(A_2) \). D’où l’inclusion.

Contre-exemple : \( f(x)=x^2 \) sur \( \mathbb{R} \), \( A_1=\{-1\} \), \( A_2=\{1\} \). Alors \( A_1\cap A_2=\varnothing \), \( f(\varnothing)=\varnothing \), alors que \( f(A_1)\cap f(A_2)=\{1\}\cap\{1\}=\{1\} \). L’inclusion est stricte.

12 Les points à même distance de l’origine ★★★

1. La relation « avoir même image par \( \varphi(x,y)=x^2+y^2 \) » est réflexive, symétrique et transitive car l’égalité l’est.
2. \( 3^2+4^2=25 \) : la classe de \( A \) est le cercle de centre \( O \) et de rayon \( 5 \). Il contient \( B(5\,;0) \), \( C(-4\,;3) \), \( D(0\,;-5) \).
3. Il faut \( x^2+y^2=25 \) avec \( x,y\in\mathbb{Z} \). Décompositions de \( 25 \) en deux carrés : \( 0+25 \), \( 9+16 \), \( 16+9 \), \( 25+0 \). Cela donne \( 4 \) points pour \( \{0,\pm5\} \) (\( (0,\pm5),(\pm5,0) \)) et \( 8 \) points pour \( \{\pm3,\pm4\} \) : au total \( 12 \) points entiers.

13 Une équation de congruence ★★★

On cherche l’inverse de \( 5 \) modulo \( 13 \) : \( 5\times8=40=3\times13+1 \), donc \( 8 \) convient. En multipliant par \( 8 \) : \( x\equiv 8\times4=32\equiv6\ [13] \). Réciproquement \( 5\times6=30=2\times13+4 \). Les solutions sont les \( x=6+13k \), \( k\in\mathbb{Z} \) ; dans \( \{0,\dots,12\} \), seule \( x=6 \).

14 Ordres sur le plan ★★★

1. Réflexive : \( a\le a \) et \( b\le b \). Antisymétrique : si \( a\le c\le a \) et \( b\le d\le b \), alors \( (a,b)=(c,d) \). Transitive : les inégalités se composent coordonnée par coordonnée. L’ordre n’est pas total : \( (1,3) \) et \( (2,1) \) sont incomparables (\( 1\le2 \) mais \( 3>1 \), et \( 2>1 \)).
2. Réflexive, antisymétrique, transitive : vérification par disjonction des cas sur la première coordonnée (si \( a

15 Injectivité et intersection ★★★

(\( \Rightarrow \)) L’inclusion \( \subset \) est toujours vraie. Soit \( y\in f(A_1)\cap f(A_2) \) : \( y=f(a_1)=f(a_2) \) avec \( a_1\in A_1 \), \( a_2\in A_2 \). Par injectivité \( a_1=a_2 \in A_1\cap A_2 \), donc \( y\in f(A_1\cap A_2) \).

(\( \Leftarrow \)) Soient \( x\ne x' \) tels que \( f(x)=f(x') \). Prenons \( A_1=\{x\} \), \( A_2=\{x'\} \) : \( A_1\cap A_2=\varnothing \), donc \( f(A_1\cap A_2)=\varnothing \), alors que \( f(A_1)\cap f(A_2)=\{f(x)\}\ne\varnothing \) : contradiction. Donc \( f \) est injective.

16 Composée injective ou surjective ★★★

1. Si \( f(x)=f(x') \), alors \( g(f(x))=g(f(x')) \), soit \( (g\circ f)(x)=(g\circ f)(x') \), d’où \( x=x' \).
2. Soit \( z\in G \). Il existe \( x\in E \) tel que \( g(f(x))=z \) ; donc \( y=f(x)\in F \) vérifie \( g(y)=z \).
3. \( E=\{1\} \), \( F=\{1,2\} \), \( G=\{1\} \), \( f(1)=1 \), \( g(1)=g(2)=1 \). Alors \( g\circ f=\mathrm{id}_E \) est bijective, \( f \) n’atteint pas \( 2 \) et \( g(1)=g(2) \).

17 Un système de congruences ★★★

On écrit \( x=5a+2 \). Alors \( 5a+2\equiv3\ [7] \), soit \( 5a\equiv1\ [7] \). Comme \( 5\times3=15\equiv1 \), \( a\equiv3\ [7] \), donc \( a=3+7k \) et \( x=5(3+7k)+2=17+35k \).

Réciproquement, \( 17=3\times5+2 \) et \( 17=2\times7+3 \). Solutions : \( x\equiv17\ [35] \) ; la plus petite positive est \( 17 \).

18 Relation « même cardinal » sur les parties ★★★

C’est la relation « même image par \( A\mapsto|A| \) », donc une équivalence. Une classe est déterminée par la valeur commune du cardinal, qui vaut \( 0,1,\dots,5 \) : il y a \( 6 \) classes. La classe des parties de cardinal \( k \) contient \( \binom5k \) éléments : \( 1,5,10,10,5,1 \). Somme : \( 1+5+10+10+5+1=32=2^5 \), ce qui confirme que les classes forment une partition de \( \mathcal{P}(E) \).

19 Une bijection sans formule de réciproque ★★★

\( f \) est strictement croissante (somme de deux fonctions strictement croissantes), donc injective. Elle est continue avec \( \lim_{-\infty}f=-\infty \) et \( \lim_{+\infty}f=+\infty \) : par le théorème des valeurs intermédiaires, elle est surjective. Elle est donc bijective.

\( f(1)=2 \) donc \( f^{-1}(2)=1 \). \( f(2)=8+2=10 \) donc \( f^{-1}(10)=2 \). Pour une bijection, il suffit de reconnaître un antécédent pour connaître la valeur de la réciproque.

20 Dénombrer injections, surjections, bijections ★★★

1. \( 4 \) choix pour l’image de \( 1 \), puis \( 3 \) pour celle de \( 2 \) : \( 4\times3=12 \).
2. Il y a \( 2^3=8 \) applications ; les deux seules non surjectives sont les constantes. Donc \( 8-2=6 \).
3. \( 5!=120 \).
4. Il y a \( 3^4=81 \) applications. Celles qui manquent au moins un élément : par inclusion-exclusion, \( 3\times2^4-3\times1^4+0=45 \). Donc \( 81-45=36 \) surjections.

21 Factoriser par la relation « même image » ★★★

1. \( f(x)-f(y)=x^2-y^2-2(x-y)=(x-y)(x+y-2) \), nul si et seulement si \( y=x \) ou \( y=2-x \).
2. Classe de \( 3 \) : \( \{3,-1\} \) (car \( f(3)=3=f(-1) \)). Classe de \( 1 \) : \( \{1\} \) puisque \( 2-1=1 \).
3. \( f(x)=(x-1)^2-1 \), donc \( f(\mathbb{R})=[-1,+\infty[ \). L’application \( \overline{x}\mapsto f(x) \) est bien définie (deux éléments de la même classe ont même image), injective (deux classes d’images égales sont égales par définition de \( \sim \)) et surjective sur \( [-1,+\infty[ \). Elle est donc bijective.