Applications et relations : corrigé du contrôle de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Une fonction polynomiale / 4 pts

1. \( f(x)=(x-2)^2-1 \). Minimum \( -1 \) en \( 2\in[0,5] \) ; \( f(0)=3 \), \( f(5)=8 \). Donc \( f([0,5])=[-1,8] \). (1 pt)
2. \( (x-1)(x-3)=0 \), donc \( f^{-1}(\{0\})=\{1,3\} \). (1 pt)
3. \( -1\le(x-2)^2-1\le0\iff 0\le(x-2)^2\le1\iff|x-2|\le1 \) : \( f^{-1}([-1,0])=[1,3] \). (1 pt)
4. Non injective : \( f(1)=f(3)=0 \). Non surjective : \( f(x)\ge-1 \), donc \( -2 \) n’a pas d’antécédent. (1 pt)

2 Une homographie / 4 pts

1. \( h(x)=3-\dfrac{7}{x+2} \). Si \( h(x)=h(x') \), alors \( \dfrac7{x+2}=\dfrac7{x'+2} \), donc \( x=x' \). (2 pts)
2. Pour \( y\ne3 \) : \( \dfrac{3x-1}{x+2}=y\iff x(3-y)=2y+1\iff x=\dfrac{2y+1}{3-y} \) (valeur \( \ne-2 \) car sinon \( 2y+1=2y-6 \)). Surjectivité et formule : \( h^{-1}(y)=\dfrac{2y+1}{3-y} \). (1 pt)
3. \( h(1)=\dfrac23 \) et \( h^{-1}(\tfrac23)=\dfrac{7/3}{7/3}=1 \). (1 pt)

3 Doubler puis moitié / 3 pts

1. \( (g\circ f)(7)=g(14)=7 \) ; \( (f\circ g)(7)=f(3)=6 \). (1 pt)
2. \( (g\circ f)(n)=\lfloor 2n/2\rfloor=n \) : c’est l’identité, donc bijective. \( f\circ g \) vaut \( n \) si \( n \) est pair, \( n-1 \) sinon : elle n’est pas injective. (1 pt)
3. \( f \) est injective non surjective (les impairs ne sont pas atteints) ; \( g \) est surjective non injective (\( g(2)=g(3) \)). (1 pt)

4 Une relation sur les entiers / 4 pts

1. La relation est « avoir même image par \( x\mapsto x^2 \bmod 5 \) » : réflexive (\( x^2\equiv x^2 \)), symétrique, transitive car la congruence l’est. (2 pts)
2. Carrés modulo \( 5 \) : \( 0\to0,\ 1\to1,\ 2\to4,\ 3\to4,\ 4\to1 \). Classe de \( 0 \) : \( x\equiv0\ [5] \). Classe de \( 1 \) : \( x\equiv\pm1\ [5] \). Classe de \( 2 \) : \( x\equiv\pm2\ [5] \). Il y a \( 3 \) classes. (2 pts)

5 Congruences / 3 pts

a) \( 4\times7=28\equiv1\ [9] \), donc \( x\equiv7\times7=49\equiv4\ [9] \). Contrôle : \( 4\times4=16\equiv7 \). Solutions : \( x=4+9k \). (2 pts)

b) \( 7^2=49\equiv9 \), \( 7^4\equiv81\equiv1\ [10] \). Or \( 2026=4\times506+2 \), donc \( 7^{2026}\equiv7^2\equiv9\ [10] \). Reste : \( 9 \). (1 pt)

6 Diviseurs de 24 / 2 pts

Plus petit élément : \( 1 \) ; plus grand : \( 24 \). (1 pt) Par exemple \( 2 \) et \( 3 \) sont incomparables (aucun ne divise l’autre) ; l’ordre n’est donc pas total. (1 pt)