Topologie des espaces vectoriels normés : exercices corrigés de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Trois normes sur des vecteurs ★★★

Pour \(x = (3,-4)\) : \(N_1 = 3 + 4 = 7\), \(N_2 = \sqrt{9 + 16} = 5\), \(N_\infty = \max(3,4) = 4\). Et \(4 \le 5 \le 7 \le \sqrt2 \times 5 \approx 7{,}07\) : l’encadrement est vérifié.

Pour \(y = (1,-2,2)\) : \(N_1 = 5\), \(N_2 = \sqrt{1+4+4} = 3\), \(N_\infty = 2\). Et \(2 \le 3 \le 5 \le \sqrt3 \times 3 \approx 5{,}196\) : encadrement vérifié.

2 Norme ou pas ? ★★★

a) Oui : somme de deux semi-normes, et \(|x| + 3|y| = 0\) force \(x = y = 0\).

b) Non : \(N(1,1) = 0\) alors que \((1,1) \ne 0\), la séparation échoue.

c) Oui : \(N(x,y)\) est la norme euclidienne du vecteur \((x, 2y)\), image de \((x,y)\) par une application linéaire injective.

d) Non : \(N(2x, 2y) = 4|xy| = 4N(x,y) \ne 2N(x,y)\) pour \((x,y) = (1,1)\), l’homogénéité échoue.

3 Boules et aires ★★★

a) \(|x - 2{,}5| \lt 1{,}5 \iff 1 \lt x \lt 4\), donc \(B(2{,}5\,;\,1{,}5) = \,]1, 4[\).

b) Pour \(N_\infty\) : \(|x-1| \le 3\) et \(|y+2| \le 3\), c’est le carré \([-2,4] \times [-5,1]\), d’aire \(6 \times 6 = 36\). Pour \(N_1\) : \(|x-1| + |y+2| \le 3\), c’est un losange de sommets \((4,-2)\), \((-2,-2)\), \((1,1)\), \((1,-5)\), dont les diagonales mesurent \(6\) : aire \(\tfrac{6 \times 6}{2} = 18\). Pour \(N_2\) : disque de rayon \(3\), d’aire \(9\pi\).

4 Adhérence, intérieur, frontière ★★★

Intérieur : \(\mathring{A} = \,]-2,-1[\, \cup \,]0,1[\), car \(3\) est isolé (aucun intervalle autour de \(3\) n’est dans \(A\)) et \(-2\) est au bord. Adhérence : \(\overline{A} = [-2,-1] \cup [0,1] \cup \{3\}\). Frontière : \(\overline{A} \setminus \mathring{A} = \{-2, -1, 0, 1, 3\}\).

\(A \ne \mathring{A}\) donc \(A\) n’est pas ouverte ; \(A \ne \overline{A}\) donc \(A\) n’est pas fermée.

5 Convergence dans le plan ★★★

\(u_n - \ell = \left(\tfrac1n, e^{-n}\right)\). Comme \(e^n \ge n\), on a \(e^{-n} \le \tfrac1n\), donc \(N_\infty(u_n - \ell) = \tfrac1n \to 0\) : \(u_n \to \ell\).

La condition \(\tfrac1n \lt 0{,}01\) équivaut à \(n \gt 100\). Le plus petit entier convenable est \(N = 101\) (pour \(n = 100\), \(\tfrac1{100} = 0{,}01\) n’est pas strictement inférieur).

6 Trois normes de fonctions ★★★

\(h - k = t^2(1-t) \ge 0\) sur \([0,1]\). Sa dérivée \(2t - 3t^2 = t(2 - 3t)\) s’annule en \(t = \tfrac23\) : \(\|h-k\|_\infty = \tfrac49 - \tfrac8{27} = \tfrac4{27}\).

\(\|h-k\|_1 = \int_0^1 (t^2 - t^3)\,dt = \tfrac13 - \tfrac14 = \tfrac1{12}\).

\(\|h-k\|_2^2 = \int_0^1 (t^4 - 2t^5 + t^6)\,dt = \tfrac15 - \tfrac13 + \tfrac17 = \tfrac1{105}\), donc \(\|h-k\|_2 = \tfrac1{\sqrt{105}}\).

7 Ouvert ou fermé par image réciproque ★★★

\(A = f^{-1}(]-\infty, 9[)\) avec \(f(x,y) = x^2 + y^2\) continue : ouvert. \(B = g^{-1}(\{1\})\) avec \(g(x,y) = xy\) continue : fermé. \(C\) est l’intersection de trois images réciproques de fermés \([0,+\infty[\), \([0,+\infty[\) et \(]-\infty, 2]\) : fermé (et borné, donc compact). \(D = h^{-1}(]0,+\infty[)\) avec \(h(x,y) = y - x^2\) continue : ouvert.

8 Comparer \(N_1\), \(N_2\), \(N_\infty\) sur \(\mathbb{R}^2\) ★★★

\(N_\infty^2 = \max(x^2,y^2) \le x^2 + y^2 = N_2^2\), égalité pour \((1,0)\).

\(N_1^2 = x^2 + y^2 + 2|xy| \ge N_2^2\), égalité pour \((1,0)\).

Comme \(2|xy| \le x^2 + y^2\), on a \(N_1^2 \le 2(x^2 + y^2) = 2N_2^2\), égalité pour \((1,1)\).

Enfin \(\sqrt2\,N_2 \le \sqrt2 \sqrt{2N_\infty^2} = 2N_\infty\) car \(x^2 + y^2 \le 2N_\infty^2\), égalité pour \((1,1)\).

Les constantes \(1\), \(\sqrt2\) et \(2\) sont donc optimales ; les normes sont équivalentes.

9 Norme d’une forme linéaire ★★★

a) \(|T(f)| \le \|f\|_\infty \int_0^1 t\,dt = \tfrac12 \|f\|_\infty\), donc \(T\) est continue et \(\|T\| \le \tfrac12\). Pour \(f = 1\), \(T(f) = \tfrac12 = \tfrac12 \|f\|_\infty\) : \(\|T\| = \tfrac12\).

b) \(|T(f)| \le \int_0^1 t\,|f(t)|\,dt \le \|f\|_1\), donc \(T\) est continue et \(\|T\| \le 1\). Pour \(f_n = t^n\) : \(T(f_n) = \tfrac1{n+2}\) et \(\|f_n\|_1 = \tfrac1{n+1}\), d’où \(\dfrac{|T(f_n)|}{\|f_n\|_1} = \dfrac{n+1}{n+2} \to 1\). Donc \(\|T\| = 1\), borne non atteinte.

10 La dérivation n’est pas continue ★★★

a) \(\|X^n\| = 1\) (maximum atteint en \(1\)) et \(D(X^n) = nX^{n-1}\), de norme \(n\).

b) Si \(D\) était continue, il existerait \(C\) avec \(\|D(P)\| \le C\|P\|\) ; avec \(P = X^n\) on obtiendrait \(n \le C\) pour tout \(n\), absurde.

c) \(\mathbb{R}_3[X]\) est de dimension finie (\(4\)) : toute application linéaire définie sur un tel espace est continue.

11 Quelles parties sont compactes ? ★★★

En dimension finie, compact \(\iff\) fermé borné. a) Fermé borné : compact. b) Non fermé (les points du cercle unité sont dans l’adhérence) : non compact. c) Cercle : fermé borné, compact. d) Fermé mais non borné (le point \((n, 1/n)\) est de norme tendant vers \(+\infty\)) : non compact. e) Losange plein : fermé borné, compact. Réponse : a, c et e.

12 Extremum sur un cercle ★★★

Le cercle est fermé borné de \(\mathbb{R}^2\), donc compact, et \(f\) est continue : maximum et minimum existent. Par Cauchy-Schwarz, \(|2x + 3y| \le \sqrt{x^2 + y^2}\,\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\), avec égalité si \((x,y)\) est colinéaire à \((2,3)\). Le maximum vaut \(\sqrt{13}\), atteint en \(\left(\tfrac2{\sqrt{13}}, \tfrac3{\sqrt{13}}\right)\), et le minimum vaut \(-\sqrt{13}\), atteint en \(\left(-\tfrac2{\sqrt{13}}, -\tfrac3{\sqrt{13}}\right)\).

13 Un ensemble non connexe par arcs ★★★

a) Supposons un chemin \(\gamma = (\gamma_1, \gamma_2) : [0,1] \to A\) continu avec \(\gamma(0) = (1,1)\) et \(\gamma(1) = (1,-1)\). La fonction continue \(\gamma_2\) vaut \(1\) puis \(-1\) : par le théorème des valeurs intermédiaires elle s’annule, et alors \(\gamma_1\gamma_2 = 0\), donc \(\gamma(t) \notin A\) : contradiction.

b) Soit \(a, b\) distincts de l’origine. Si \(0 \notin [a,b]\), le segment convient. Sinon \(0\) est sur la droite \((ab)\) ; on prend \(c\) hors de cette droite et le chemin \([a,c]\) puis \([c,b]\), qui évite \(0\). Si \(a = b\), le chemin constant convient.

14 Suite de Cauchy dans \(\mathbb{Q}\) ★★★

a) \(x_1 = \tfrac12(1 + 2) = \tfrac32\) ; \(x_2 = \tfrac12\left(\tfrac32 + \tfrac43\right) = \tfrac{17}{12}\) ; \(x_3 = \tfrac12\left(\tfrac{17}{12} + \tfrac{24}{17}\right) = \tfrac{577}{408}\).

b) \(x_3^2 - 2 = \dfrac{577^2 - 2 \times 408^2}{408^2} = \dfrac{332929 - 332928}{166464} = \dfrac1{166464}\), très proche de \(0\).

c) Tous les \(x_n\) sont rationnels. La suite converge dans \(\mathbb{R}\), donc elle est de Cauchy, y compris vue dans \(\mathbb{Q}\). Mais sa seule limite possible est \(\sqrt2 \notin \mathbb{Q}\) : une suite de Cauchy de \(\mathbb{Q}\) ne converge pas dans \(\mathbb{Q}\), qui n’est donc pas complet.

15 Ouvert et fermé dans \(\mathcal{C}([0,1])\) ★★★

a) Pour \(f(t) = t^2 + \tfrac12\), \(\min f = \tfrac12\). Si \(\|g - f\|_\infty \lt \tfrac12\), alors \(g(t) \gt f(t) - \tfrac12 \ge 0\) pour tout \(t\), donc \(g \in U\) : \(B(f,\tfrac12) \subset U\). En général, pour \(f \in U\), \(m = \min f \gt 0\) (continuité sur un compact) et \(B(f,m) \subset U\) : \(U\) est ouvert.

b) L’application \(\varphi(f) = f(0)\) est 1-lipschitzienne car \(|f(0) - g(0)| \le \|f - g\|_\infty\), donc continue, et \(F = \varphi^{-1}(\{0\})\) est fermé.

c) Si \(f_n \in V\) converge vers \(f\) pour \(\|\cdot\|_\infty\), alors pour chaque \(t\), \(f_n(t) \to f(t)\) et \(f_n(t) \ge 0\), d’où \(f(t) \ge 0\) : \(V\) est stable par limites, donc fermé. (Remarque : \(V\) est fermé mais d’intérieur vide.)

16 Normes non équivalentes ★★★

a) \(\|f_n\|_\infty = 1\), \(\|f_n\|_1 = \tfrac1{n+1}\), \(\|f_n\|_2 = \left(\int_0^1 t^{2n}\,dt\right)^{1/2} = \tfrac1{\sqrt{2n+1}}\).

b) Si \(\|f\|_\infty \le C\|f\|_1\) pour tout \(f\), alors \(1 \le \tfrac{C}{n+1}\) pour tout \(n\) : impossible. De même \(\|f\|_\infty \le C\|f\|_2\) donnerait \(\sqrt{2n+1} \le C\) pour tout \(n\) : impossible.

c) \(\|f\|_2^2 = \int f^2 \le \|f\|_\infty^2\), d’où \(\|f\|_2 \le \|f\|_\infty\). Par Cauchy-Schwarz, \(\|f\|_1 = \int |f| \cdot 1 \le \left(\int f^2\right)^{1/2} \left(\int 1\right)^{1/2} = \|f\|_2\).

17 Norme d’une matrice et groupe linéaire ★★★

a) \(A^TA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\), de polynôme caractéristique \(\lambda^2 - 6\lambda + 1\) ; la plus grande racine est \(3 + 2\sqrt2 = (1 + \sqrt2)^2\). Donc \(\|A\| = 1 + \sqrt2 \approx 2{,}414\).

b) Toutes les normes sont équivalentes en dimension finie, et \(\det\) est polynomiale en les coefficients, donc continue. \(GL_2(\mathbb{R}) = \det^{-1}(\mathbb{R}^*)\) est l’image réciproque d’un ouvert : c’est un ouvert.

c) Supposons un chemin \(\gamma\) dans \(GL_2(\mathbb{R})\) de \(I_2\) à \(\mathrm{diag}(1,-1)\). Alors \(\det \circ \gamma\) est continue, vaut \(1\) puis \(-1\), donc s’annule par le théorème des valeurs intermédiaires : contradiction avec \(\gamma(t) \in GL_2\).

18 La boule unité n’est pas compacte ★★★

a) \(\|e_n\| = 1\) et, pour \(n \ne m\), \(e_n - e_m\) a pour coefficients \(1\) et \(-1\) : \(\|e_n - e_m\| = 1\).

b) Tous les \(e_n\) sont dans la boule unité fermée. Mais deux termes distincts sont toujours à distance \(1\) : aucune sous-suite n’est de Cauchy, donc aucune ne converge. La suite \((e_n)\) n’a pas de sous-suite convergente : la boule unité fermée n’est pas compacte. Cohérent avec le théorème de Riesz, puisque \(\mathbb{R}[X]\) est de dimension infinie.

19 Point fixe de \(x \mapsto \tfrac12 \cos x\) ★★★

a) \(|f'(x)| = \tfrac12|\sin x| \le \tfrac12\) : par l’inégalité des accroissements finis \(f\) est \(\tfrac12\)-lipschitzienne, donc contractante sur \(\mathbb{R}\), complet. Le théorème de Banach donne un unique point fixe \(\ell\) (numériquement \(\ell \approx 0{,}4502\)).

b) \(u_1 = \tfrac12 \cos 0 = \tfrac12\), donc \(|u_1 - u_0| = \tfrac12\). La majoration \(|u_n - \ell| \le \dfrac{k^n}{1-k}|u_1 - u_0|\) avec \(k = \tfrac12\) donne \(2^{-n} \times 2 \times \tfrac12 = 2^{-n}\).

c) \(2^{-n} \le 10^{-6} \iff 2^n \ge 10^6\). Comme \(2^{19} = 524288 \lt 10^6 \lt 2^{20} = 1048576\), il faut \(n = 20\) itérations.

20 Distance à une boule ★★★

Majoration : \(y = x/\|x\|\) est dans la boule (de norme \(1\)) et \(\|x - y\| = \left\|x\left(1 - \tfrac1{\|x\|}\right)\right\| = \|x\| - 1\).

Minoration : pour tout \(y\) de la boule, \(\|x - y\| \ge \|x\| - \|y\| \ge \|x\| - 1\) (inégalité triangulaire renversée). La borne inférieure est donc exactement \(\|x\| - 1\), et elle est atteinte.

Application : \(N_1(3,4) = 7\), distance \(6\) ; \(N_2(3,4) = 5\), distance \(4\) ; \(N_\infty(3,4) = 4\), distance \(3\).