Fonction exponentielle : corrigé du contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Calculs avec les puissances de e / 3 pts

\(A = \mathrm{e}^{6 - 2 - 3} = \mathrm{e}^{1} = \mathrm{e}\) (1 pt).

\(B = \mathrm{e}^{-6}\times \mathrm{e}^{8} = \mathrm{e}^{2}\) (1 pt).

\(C = \dfrac{\mathrm{e}^{2x+6}}{\mathrm{e}^{2x}} = \mathrm{e}^{6}\) (1 pt).

2 Équations et inéquations / 4 pts

a) \(3x - 2 = x + 4 \iff 2x = 6 \iff x = 3\) (1,5 pt).

b) \(\mathrm{e}^{-x+1} \leqslant \mathrm{e}^{0} \iff -x + 1 \leqslant 0 \iff x \geqslant 1\) ; solutions \([1\,;\,+\infty[\) (1,5 pt).

c) Une exponentielle est strictement positive : aucune solution (1 pt).

3 Dérivées / 4 pts

\(f'(x) = 3\mathrm{e}^{2x} + (3x - 1)\times 2\mathrm{e}^{2x} = (6x + 1)\mathrm{e}^{2x}\) (1,5 pt).

\(g'(x) = (-2x + 1)\mathrm{e}^{-x^{2} + x}\) (1 pt).

\(f(0) = -1\) et \(f'(0) = 1\). La tangente a pour équation \(y = 1\times(x - 0) + (-1)\), soit \(y = x - 1\) (1,5 pt).

4 Étude d’une fonction / 6 pts

a) \(h'(x) = -\mathrm{e}^{x} + (2 - x)\mathrm{e}^{x} = (1 - x)\mathrm{e}^{x}\) (1 pt).

b) \(h'\) a le signe de \(1 - x\) : \(h\) croît sur \(]-\infty\,;\,1]\), décroît sur \([1\,;\,+\infty[\), maximum \(h(1) = \mathrm{e}\) (1,5 pt).

c) En \(-\infty\) : \(h(x) = 2\mathrm{e}^{x} - x\,\mathrm{e}^{x} \to 0\) par croissances comparées (1 pt). En \(+\infty\) : \(2 - x \to -\infty\) et \(\mathrm{e}^{x} \to +\infty\), donc \(h \to -\infty\) (1 pt).

d) \(h''(x) = -\mathrm{e}^{x} + (1 - x)\mathrm{e}^{x} = -x\,\mathrm{e}^{x}\) (0,5 pt). \(h\) est convexe sur \(]-\infty\,;\,0]\) et concave sur \([0\,;\,+\infty[\) ; la courbe a un point d’inflexion en \(x = 0\), au point \((0\,;\,2)\) (1 pt).

5 Limites / 3 pts

a) \(\mathrm{e}^{x} - 3x = \mathrm{e}^{x}\left(1 - 3x\mathrm{e}^{-x}\right)\), avec \(x\mathrm{e}^{-x} \to 0\) : la limite est \(+\infty\) (1 pt).

b) \((2x + 5)\mathrm{e}^{x} = 2x\mathrm{e}^{x} + 5\mathrm{e}^{x} \to 0 + 0 = 0\) (1 pt).

c) \(\dfrac{\mathrm{e}^{3x} - 1}{x} = 3\times\dfrac{\mathrm{e}^{3x} - 1}{3x} \to 3\times 1 = 3\) (1 pt).