Fonction logarithme népérien : contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Simplifier des expressions / 3 pts

Écris sous la forme demandée, sans justification superflue :

1. \(A = 2\ln 15 - \ln 9 - \ln 5\), comme un seul logarithme ;
2. \(B = \ln\bigl(e^3\sqrt{e}\bigr)\), comme un nombre rationnel ;
3. \(C = \ln 8 + \ln\dfrac{1}{2}\), en fonction de \(\ln 2\).

2 Une équation / 3 pts

Résous dans \(\mathbb{R}\) : \(\ln(2x + 1) + \ln(x - 1) = \ln 5\).

3 Une inéquation / 2 pts

Résous dans \(\mathbb{R}\) : \(\ln(3x - 2) \lt 1\).

4 Étude d’une fonction / 5 pts

Soit \(f(x) = x - 2\ln x\) sur \(]0\,;+\infty[\).

1. Calcule \(f'(x)\).
2. Dresse le tableau de variations de \(f\), en justifiant les limites en \(0\) et en \(+\infty\).
3. Montre que \(f(x) \gt 0\) pour tout \(x \gt 0\). (On rappelle que \(\ln 2 \lt 1\).)

5 Dérivée de ln(u) et tangente / 4 pts

Soit \(g(x) = \ln(x^2 + 2x + 2)\).

1. Justifie que \(g\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
2. Calcule \(g'(x)\) et dresse le tableau de variations de \(g\).
3. Détermine l’équation de la tangente à la courbe de \(g\) au point d’abscisse \(0\).

6 Un capital qui grandit / 3 pts

Un capital de \(1\,000\) € est placé à \(2{,}5\,\%\) par an à intérêts composés. (Calculatrice autorisée.) (a) Exprime le capital \(C_n\) après \(n\) années. (b) À partir de combien d’années dépasse-t-il \(1\,500\) € ?