Fonction exponentielle : exercices de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Simplifier des expressions ★★★

Écris chacune des expressions suivantes sous la forme \(\mathrm{e}^{n}\) ou sous forme d’un nombre entier :

\(A = \mathrm{e}^{3}\times \mathrm{e}^{5}\) ; \(B = \dfrac{\mathrm{e}^{7}}{\mathrm{e}^{2}}\) ; \(C = (\mathrm{e}^{2})^{4}\) ; \(D = \mathrm{e}^{-3}\times \mathrm{e}^{3}\) ; \(E = \dfrac{1}{\mathrm{e}^{-4}}\).

2 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. Pour tout réel \(x\), \(\mathrm{e}^{x} > 0\).
2. Pour tous réels \(a\) et \(b\), \(\mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^{a} + \mathrm{e}^{b}\).
3. \(\exp(0) = 0\).
4. La fonction exponentielle est égale à sa dérivée.
5. Pour tout réel \(x\), \(\mathrm{e}^{2x} = (\mathrm{e}^{x})^{2}\).

3 Équations simples ★★★

Résous dans \(\mathbb{R}\) :

1. \(\mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}^{5 - 2x}\)
2. \(\mathrm{e}^{3x - 1} = 1\)
3. \(\mathrm{e}^{x} = -2\)

4 Dériver des exponentielles ★★★

Dérive les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \mathrm{e}^{2x}\) ; \(g(x) = \mathrm{e}^{-x}\) ; \(h(x) = \mathrm{e}^{x^{2}}\) ; \(k(x) = 3\mathrm{e}^{5x}\).

5 Inéquations simples ★★★

Résous dans \(\mathbb{R}\) :

1. \(\mathrm{e}^{2x} < \mathrm{e}^{x + 3}\)
2. \(\mathrm{e}^{-x} \geqslant 1\)
3. \(\mathrm{e}^{4x - 8} > 1\)

6 Premières limites ★★★

Détermine les limites suivantes :

1. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(\mathrm{e}^{x} + 4\right)\)
2. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(5 - \mathrm{e}^{-x}\right)\)
3. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{-x + 2}\)
4. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\mathrm{e}^{x} - 7\right)\)

7 Valeurs à la calculatrice ★★★

À la calculatrice, donne l’arrondi au centième de \(\mathrm{e}^{-1}\), \(\mathrm{e}^{0{,}5}\), \(\mathrm{e}^{2}\) et \(\mathrm{e}^{-3}\). Range ces quatre nombres dans l’ordre croissant et explique pourquoi cet ordre était prévisible.

8 Variations de x e^(−x) ★★★

Soit \(f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}\) définie sur \(\mathbb{R}\).

1. Calcule \(f'(x)\) et factorise.
2. Étudie le signe de \(f'\) et dresse le tableau de variations.
3. Calcule les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

9 Une équation du second degré en e^x ★★★

On considère l’équation \((E)\) : \(\mathrm{e}^{2x} - (1 + \mathrm{e})\,\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e} = 0\).

1. Pose \(X = \mathrm{e}^{x}\) et écris l’équation en \(X\).
2. Factorise le trinôme et résous-le.
3. Déduis les solutions de \((E)\).

10 Dériver avec des produits et des quotients ★★★

Dérive sur \(\mathbb{R}\) : \(f(x) = (2x + 1)\mathrm{e}^{x}\) ; \(g(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} + 1}\) ; \(h(x) = (x^{2} - 3x)\mathrm{e}^{-x}\).

11 Tangente au point d’abscisse 1 ★★★

Soit \(\mathcal{C}\) la courbe de la fonction exponentielle.

1. Détermine l’équation de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}\) au point \(B\) d’abscisse \(1\).
2. Montre que \(T\) passe par l’origine du repère.
3. Déduis-en que \(\mathrm{e}^{x} \geqslant \mathrm{e}\,x\) pour tout réel \(x\) et interprète sur la figure.

12 Des bactéries qui se multiplient ★★★

Dans une boîte de culture, le nombre de bactéries après \(t\) heures est \(N(t) = 500\,\mathrm{e}^{0{,}3t}\).

1. Combien y en a-t-il au départ ? Et au bout de \(2\) h (arrondi à l’unité) ?
2. Calcule \(N'(t)\) et montre que \(N'(t) = 0{,}3\,N(t)\).
3. À quelle vitesse (en bactéries par heure) la population croît-elle à \(t = 0\) ?

13 Un café qui refroidit ★★★

La température d’un café (en °C) à l’instant \(t\) (en minutes) est \(T(t) = 20 + 60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}\), pour \(t \geqslant 0\).

1. Quelle est la température initiale ?
2. Montre que \(T\) est strictement décroissante.
3. Détermine la limite de \(T\) en \(+\infty\) et interprète-la.
4. Calcule \(T(10)\) à \(0{,}1\) près.

14 Croissances comparées ★★★

Détermine, en justifiant :

1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{2}\mathrm{e}^{-x}\)
2. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x\,\mathrm{e}^{x}\)
3. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^{3}}\)
4. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\mathrm{e}^{x} - x\right)\)

15 L’inégalité fondamentale ★★★

Soit \(\varphi(x) = \mathrm{e}^{x} - x - 1\) définie sur \(\mathbb{R}\).

1. Étudie les variations de \(\varphi\) et détermine son minimum.
2. Déduis que \(\mathrm{e}^{x} \geqslant x + 1\) pour tout réel \(x\).
3. Montre alors que \(\mathrm{e}^{-x} \geqslant 1 - x\), puis que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{x} = +\infty\).

16 Étude complète de (x − 1)e^x ★★★

Soit \(f(x) = (x - 1)\mathrm{e}^{x}\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Calcule \(f'(x)\) et \(f''(x)\).
2. Dresse le tableau de variations de \(f\) avec les limites en \(-\infty\) et \(+\infty\).
3. Étudie la convexité de \(f\) et précise le point d’inflexion.

17 Une équation qui a une unique solution ★★★

Soit \(g(x) = \mathrm{e}^{x} + x - 2\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Montre que \(g\) est strictement croissante.
2. Calcule \(g(0)\) et \(g(1)\), puis justifie que l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0\,;\,1]\).
3. Donne un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(0{,}01\) à la calculatrice.

18 La courbe en S ★★★

Soit \(f(x) = \dfrac{1}{1 + \mathrm{e}^{-x}}\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Calcule \(f'(x)\) et déduis le sens de variation de \(f\).
2. Détermine les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). Que peut-on dire de la courbe ?
3. Montre que \(f(-x) = 1 - f(x)\) pour tout \(x\). Que traduit cette égalité pour la courbe ?

19 Concentration d’un médicament ★★★

La concentration (en mg/L) d’un médicament dans le sang, \(t\) heures après son injection, est \(C(t) = 8t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\) pour \(t \geqslant 0\).

1. Montre que \(C'(t) = (8 - 4t)\mathrm{e}^{-0{,}5t}\).
2. Étudie les variations de \(C\). À quel instant la concentration est-elle maximale, et que vaut ce maximum (arrondi à \(0{,}01\)) ?
3. Quelle est la limite de \(C\) en \(+\infty\) ? Interprète.
4. Calcule la concentration au bout de \(6\) h.

20 La famille des fonctions e^(kx) ★★★

Pour tout réel \(k\), on note \(f_{k}(x) = \mathrm{e}^{kx}\).

1. Montre que la tangente à la courbe de \(f_{k}\) au point d’abscisse \(0\) a pour équation \(y = kx + 1\).
2. Pour quelle valeur de \(k\) cette tangente passe-t-elle par le point \(A(2\,;\,7)\) ?
3. Compare \(f_{3}(-1)\) et \(f_{1}(-1)\), puis \(f_{3}(1)\) et \(f_{1}(1)\). Que remarques-tu ?
4. Montre que \(f_{k}(x)\times f_{k'}(x) = f_{k+k'}(x)\).

21 Cosinus et sinus hyperboliques ★★★

On définit sur \(\mathbb{R}\) : \(\mathrm{ch}(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2}\) et \(\mathrm{sh}(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{2}\).

1. Montre que \(\mathrm{ch}' = \mathrm{sh}\) et \(\mathrm{sh}' = \mathrm{ch}\).
2. Montre que, pour tout \(x\), \(\mathrm{ch}(x)^{2} - \mathrm{sh}(x)^{2} = 1\).
3. Étudie le signe de \(\mathrm{sh}\) et déduis les variations de \(\mathrm{ch}\). Donne son minimum.

22 Une inéquation de degré deux en e^x ★★★

Résous dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(\mathrm{e}^{2x} - (\mathrm{e} + \mathrm{e}^{2})\,\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{3} \leqslant 0\).