Fonction exponentielle : exercices corrigés de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Simplifier des expressions ★★★

\(A = \mathrm{e}^{3+5} = \mathrm{e}^{8}\).

\(B = \mathrm{e}^{7-2} = \mathrm{e}^{5}\).

\(C = \mathrm{e}^{2\times 4} = \mathrm{e}^{8}\).

\(D = \mathrm{e}^{-3+3} = \mathrm{e}^{0} = 1\).

\(E = \mathrm{e}^{-(-4)} = \mathrm{e}^{4}\), car l’inverse de \(\mathrm{e}^{-4}\) est \(\mathrm{e}^{4}\).

2 Vrai ou faux ? ★★★

a) Vrai. L’exponentielle est toujours strictement positive.

b) Faux. Avec \(a = b = 0\) : \(\mathrm{e}^{0} = 1\) alors que \(\mathrm{e}^{0} + \mathrm{e}^{0} = 2\). La bonne formule est \(\mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}\).

c) Faux. \(\exp(0) = 1\) par définition.

d) Vrai. C’est la propriété qui la définit : \(\exp' = \exp\).

e) Vrai. \(\mathrm{e}^{2x} = \mathrm{e}^{x+x} = \mathrm{e}^{x}\times \mathrm{e}^{x} = (\mathrm{e}^{x})^{2}\).

3 Équations simples ★★★

a) L’exponentielle est injective : \(x = 5 - 2x \iff 3x = 5 \iff x = \dfrac{5}{3}\). Solution : \(\dfrac{5}{3}\).

b) \(\mathrm{e}^{3x-1} = \mathrm{e}^{0} \iff 3x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{3}\).

c) Une exponentielle est strictement positive, elle ne peut pas valoir \(-2\) : l’équation n’a aucune solution.

4 Dériver des exponentielles ★★★

On utilise \((\mathrm{e}^{u})' = u'\mathrm{e}^{u}\).

\(f'(x) = 2\mathrm{e}^{2x}\) ; \(g'(x) = -\mathrm{e}^{-x}\) ; \(h'(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\) ; \(k'(x) = 3\times 5\,\mathrm{e}^{5x} = 15\,\mathrm{e}^{5x}\).

5 Inéquations simples ★★★

La fonction exp est strictement croissante : elle conserve l’ordre.

a) \(2x < x + 3 \iff x < 3\). Solutions : \(]-\infty\,;\,3[\).

b) \(\mathrm{e}^{-x} \geqslant \mathrm{e}^{0} \iff -x \geqslant 0 \iff x \leqslant 0\). Solutions : \(]-\infty\,;\,0]\).

c) \(\mathrm{e}^{4x-8} > \mathrm{e}^{0} \iff 4x - 8 > 0 \iff x > 2\). Solutions : \(]2\,;\,+\infty[\).

6 Premières limites ★★★

a) \(\mathrm{e}^{x} \to 0\) en \(-\infty\), donc la limite est \(4\).

b) En \(+\infty\), \(-x \to -\infty\) donc \(\mathrm{e}^{-x} \to 0\) et la limite est \(5\).

c) \(-x + 2 \to -\infty\), donc \(\mathrm{e}^{-x+2} \to 0\).

d) \(\mathrm{e}^{x} \to +\infty\), donc \(\mathrm{e}^{x} - 7 \to +\infty\).

7 Valeurs à la calculatrice ★★★

\(\mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}37\) ; \(\mathrm{e}^{0{,}5} \approx 1{,}65\) ; \(\mathrm{e}^{2} \approx 7{,}39\) ; \(\mathrm{e}^{-3} \approx 0{,}05\).

Ordre croissant : \(\mathrm{e}^{-3} < \mathrm{e}^{-1} < \mathrm{e}^{0{,}5} < \mathrm{e}^{2}\).

Cet ordre est celui des exposants \(-3 < -1 < 0{,}5 < 2\), car la fonction exp est strictement croissante. Tous les résultats sont strictement positifs.

8 Variations de x e^(−x) ★★★

a) \(f'(x) = 1\times \mathrm{e}^{-x} + x\times(-\mathrm{e}^{-x}) = (1 - x)\mathrm{e}^{-x}\).

b) \(\mathrm{e}^{-x} > 0\), donc \(f'(x)\) a le signe de \(1 - x\) : positive pour \(x < 1\), négative pour \(x > 1\). \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,1]\), décroissante sur \([1\,;\,+\infty[\), avec un maximum \(f(1) = \mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}37\).

c) En \(+\infty\) : \(x\mathrm{e}^{-x} \to 0\) par croissances comparées. En \(-\infty\) : \(x \to -\infty\) et \(\mathrm{e}^{-x} \to +\infty\), donc le produit tend vers \(-\infty\).

9 Une équation du second degré en e^x ★★★

a) Comme \(\mathrm{e}^{2x} = X^{2}\), l’équation devient \(X^{2} - (1 + \mathrm{e})X + \mathrm{e} = 0\).

b) \(X^{2} - (1 + \mathrm{e})X + \mathrm{e} = (X - 1)(X - \mathrm{e})\), car la somme des racines est \(1 + \mathrm{e}\) et leur produit \(\mathrm{e}\). Donc \(X = 1\) ou \(X = \mathrm{e}\).

c) \(\mathrm{e}^{x} = 1 = \mathrm{e}^{0}\) donne \(x = 0\) ; \(\mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}^{1}\) donne \(x = 1\). Les solutions sont \(0\) et \(1\) (les deux valeurs de \(X\) sont bien strictement positives).

10 Dériver avec des produits et des quotients ★★★

\(f'(x) = 2\mathrm{e}^{x} + (2x + 1)\mathrm{e}^{x} = (2x + 3)\mathrm{e}^{x}\).

\(g'(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x}(\mathrm{e}^{x} + 1) - \mathrm{e}^{x}\times \mathrm{e}^{x}}{(\mathrm{e}^{x} + 1)^{2}} = \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{(\mathrm{e}^{x} + 1)^{2}}\).

\(h'(x) = (2x - 3)\mathrm{e}^{-x} - (x^{2} - 3x)\mathrm{e}^{-x} = (-x^{2} + 5x - 3)\mathrm{e}^{-x}\).

11 Tangente au point d’abscisse 1 ★★★

a) \(\exp(1) = \mathrm{e}\) et \(\exp'(1) = \mathrm{e}\). L’équation est \(y = \mathrm{e}(x - 1) + \mathrm{e} = \mathrm{e}\,x\).

b) Pour \(x = 0\), on trouve \(y = 0\) : la tangente passe par \(O\).

c) La fonction exp est convexe, donc sa courbe est au-dessus de ses tangentes : \(\mathrm{e}^{x} \geqslant \mathrm{e}\,x\) pour tout \(x\), avec égalité en \(x = 1\). Sur la figure, la courbe violette ne passe jamais sous la droite en pointillés.

12 Des bactéries qui se multiplient ★★★

a) \(N(0) = 500\,\mathrm{e}^{0} = 500\). \(N(2) = 500\,\mathrm{e}^{0{,}6} \approx 500\times 1{,}8221 \approx 911\). Il y a environ \(911\) bactéries après \(2\) h.

b) \(N'(t) = 500\times 0{,}3\,\mathrm{e}^{0{,}3t} = 0{,}3\times 500\,\mathrm{e}^{0{,}3t} = 0{,}3\,N(t)\).

c) \(N'(0) = 0{,}3\times 500 = 150\). Au départ, la population augmente de \(150\) bactéries par heure.

13 Un café qui refroidit ★★★

a) \(T(0) = 20 + 60 = 80\) °C.

b) \(T'(t) = 60\times(-0{,}1)\mathrm{e}^{-0{,}1t} = -6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} < 0\) : \(T\) est strictement décroissante.

c) \(\mathrm{e}^{-0{,}1t} \to 0\), donc \(T(t) \to 20\). Le café se stabilise à la température de la pièce, \(20\) °C.

d) \(T(10) = 20 + 60\,\mathrm{e}^{-1} \approx 20 + 22{,}07 \approx 42{,}1\) °C.

14 Croissances comparées ★★★

a) Croissances comparées : \(x^{2}\mathrm{e}^{-x} \to 0\).

b) Croissances comparées en \(-\infty\) : \(x\,\mathrm{e}^{x} \to 0\).

c) \(\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^{3}} \to +\infty\) (l’exponentielle l’emporte sur la puissance).

d) Forme indéterminée \(+\infty - \infty\) : \(\mathrm{e}^{x} - x = \mathrm{e}^{x}\left(1 - x\mathrm{e}^{-x}\right)\). Comme \(x\mathrm{e}^{-x} \to 0\), la parenthèse tend vers \(1\) et la limite est \(+\infty\).

15 L’inégalité fondamentale ★★★

a) \(\varphi'(x) = \mathrm{e}^{x} - 1\). Or \(\mathrm{e}^{x} - 1 \geqslant 0 \iff \mathrm{e}^{x} \geqslant \mathrm{e}^{0} \iff x \geqslant 0\). Donc \(\varphi\) décroît sur \(]-\infty\,;\,0]\), croît sur \([0\,;\,+\infty[\), et son minimum est \(\varphi(0) = 1 - 0 - 1 = 0\).

b) Le minimum vaut \(0\), donc \(\varphi(x) \geqslant 0\), c’est-à-dire \(\mathrm{e}^{x} \geqslant x + 1\).

c) En remplaçant \(x\) par \(-x\) : \(\mathrm{e}^{-x} \geqslant -x + 1\). Comme \(x + 1 \to +\infty\) et \(\mathrm{e}^{x} \geqslant x + 1\), le théorème de comparaison donne \(\mathrm{e}^{x} \to +\infty\).

16 Étude complète de (x − 1)e^x ★★★

a) \(f'(x) = \mathrm{e}^{x} + (x - 1)\mathrm{e}^{x} = x\,\mathrm{e}^{x}\). Puis \(f''(x) = \mathrm{e}^{x} + x\,\mathrm{e}^{x} = (x + 1)\mathrm{e}^{x}\).

b) \(f'\) a le signe de \(x\) : \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croît sur \([0\,;\,+\infty[\), avec un minimum \(f(0) = -1\). En \(-\infty\) : \(f(x) = x\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \to 0 - 0 = 0\). En \(+\infty\) : \(x - 1 \to +\infty\) et \(\mathrm{e}^{x} \to +\infty\), donc \(f(x) \to +\infty\).

c) \(f''\) a le signe de \(x + 1\) : \(f\) est concave sur \(]-\infty\,;\,-1]\) et convexe sur \([-1\,;\,+\infty[\). La dérivée seconde change de signe en \(-1\) : point d’inflexion de coordonnées \(\left(-1\,;\,-2\mathrm{e}^{-1}\right)\), soit environ \((-1\,;\,-0{,}74)\).

17 Une équation qui a une unique solution ★★★

a) \(g'(x) = \mathrm{e}^{x} + 1 > 0\) : \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

b) \(g(0) = 1 + 0 - 2 = -1 < 0\) et \(g(1) = \mathrm{e} - 1 \approx 1{,}72 > 0\). La fonction \(g\) est continue et strictement croissante sur \([0\,;\,1]\), elle prend la valeur \(0\) une seule fois (théorème des valeurs intermédiaires) : il existe un unique \(\alpha\) tel que \(g(\alpha) = 0\).

c) \(g(0{,}44) \approx -0{,}007 < 0\) et \(g(0{,}45) \approx 0{,}018 > 0\). Donc \(0{,}44 < \alpha < 0{,}45\).

18 La courbe en S ★★★

a) Avec \(u = 1 + \mathrm{e}^{-x}\), \(u' = -\mathrm{e}^{-x}\) et \(f = \dfrac{1}{u}\) : \(f'(x) = -\dfrac{u'}{u^{2}} = \dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{(1 + \mathrm{e}^{-x})^{2}} > 0\). La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

b) En \(+\infty\), \(\mathrm{e}^{-x} \to 0\), donc \(f(x) \to 1\). En \(-\infty\), \(\mathrm{e}^{-x} \to +\infty\), donc \(f(x) \to 0\). La courbe admet deux asymptotes horizontales, \(y = 0\) et \(y = 1\).

c) \(f(-x) = \dfrac{1}{1 + \mathrm{e}^{x}}\). Par ailleurs \(1 - f(x) = \dfrac{1 + \mathrm{e}^{-x} - 1}{1 + \mathrm{e}^{-x}} = \dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{1 + \mathrm{e}^{-x}}\) ; en multipliant haut et bas par \(\mathrm{e}^{x}\), on trouve \(\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x} + 1}\). Les deux expressions sont égales. Comme \(f(0) = \dfrac{1}{2}\), la courbe est symétrique par rapport au point \(C\left(0\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\).

19 Concentration d’un médicament ★★★

a) \(C'(t) = 8\mathrm{e}^{-0{,}5t} + 8t\times(-0{,}5)\mathrm{e}^{-0{,}5t} = (8 - 4t)\mathrm{e}^{-0{,}5t}\).

b) \(C'(t)\) a le signe de \(8 - 4t\) : positive pour \(t < 2\), négative pour \(t > 2\). \(C\) croît sur \([0\,;\,2]\) puis décroît. Le maximum est \(C(2) = 16\,\mathrm{e}^{-1} \approx 5{,}89\) mg/L, atteint au bout de \(2\) h.

c) \(C(t) = 16\times(0{,}5t)\mathrm{e}^{-0{,}5t}\) ; en posant \(X = 0{,}5t \to +\infty\), \(X\mathrm{e}^{-X} \to 0\) : la limite est \(0\). Le médicament est progressivement éliminé.

d) \(C(6) = 48\,\mathrm{e}^{-3} \approx 2{,}39\) mg/L.

20 La famille des fonctions e^(kx) ★★★

a) \(f_{k}(0) = 1\) et \(f_{k}'(x) = k\,\mathrm{e}^{kx}\), donc \(f_{k}'(0) = k\). La tangente est \(y = k(x - 0) + 1 = kx + 1\).

b) \(2k + 1 = 7 \iff k = 3\).

c) \(f_{3}(-1) = \mathrm{e}^{-3} \approx 0{,}05 < f_{1}(-1) = \mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}37\), alors que \(f_{3}(1) = \mathrm{e}^{3} \approx 20{,}09 > f_{1}(1) = \mathrm{e} \approx 2{,}72\). Pour \(x > 0\), le plus grand \(k\) donne la plus grande valeur ; pour \(x < 0\), c’est l’inverse. Les courbes se croisent en \((0\,;\,1)\).

d) \(\mathrm{e}^{kx}\times \mathrm{e}^{k'x} = \mathrm{e}^{kx + k'x} = \mathrm{e}^{(k+k')x}\).

21 Cosinus et sinus hyperboliques ★★★

a) \(\mathrm{ch}'(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{2} = \mathrm{sh}(x)\) et \(\mathrm{sh}'(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2} = \mathrm{ch}(x)\), en dérivant \(\mathrm{e}^{-x}\) en \(-\mathrm{e}^{-x}\).

b) \(\mathrm{ch}^{2} - \mathrm{sh}^{2} = \dfrac{(\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x})^{2} - (\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x})^{2}}{4} = \dfrac{4\,\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{-x}}{4} = 1\).

c) \(\mathrm{sh}(x) > 0 \iff \mathrm{e}^{x} > \mathrm{e}^{-x} \iff x > -x \iff x > 0\). Donc \(\mathrm{ch}\) décroît sur \(]-\infty\,;\,0]\), croît sur \([0\,;\,+\infty[\), avec un minimum \(\mathrm{ch}(0) = 1\).

22 Une inéquation de degré deux en e^x ★★★

Posons \(X = \mathrm{e}^{x} > 0\). L’inéquation devient \(X^{2} - (\mathrm{e} + \mathrm{e}^{2})X + \mathrm{e}^{3} \leqslant 0\).

La somme des racines est \(\mathrm{e} + \mathrm{e}^{2}\) et leur produit \(\mathrm{e}\times\mathrm{e}^{2} = \mathrm{e}^{3}\) : le trinôme se factorise en \((X - \mathrm{e})(X - \mathrm{e}^{2})\).

Il est négatif entre ses racines : \(\mathrm{e} \leqslant X \leqslant \mathrm{e}^{2}\), soit \(\mathrm{e}^{1} \leqslant \mathrm{e}^{x} \leqslant \mathrm{e}^{2}\). Par croissance de exp, \(1 \leqslant x \leqslant 2\).

L’ensemble des solutions est \([1\,;\,2]\).