Fonction logarithme népérien : exercices de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Valeurs remarquables ★★★

Calcule la valeur exacte de : \(\ln 1\) ; \(\ln e\) ; \(\ln(e^5)\) ; \(\ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right)\) ; \(e^{\ln 7}\) ; \(e^{-\ln 2}\).

2 Ensembles de définition ★★★

Détermine l’ensemble de définition de chaque fonction :

1. \(f(x) = \ln(3x - 6)\)
2. \(g(x) = \ln(5 - x)\)
3. \(h(x) = \ln(x^2 + 1)\)
4. \(k(x) = \ln(x^2 - 9)\)

3 Exprimer avec ln 2 et ln 3 ★★★

On pose \(a = \ln 2\) et \(b = \ln 3\). Exprime en fonction de \(a\) et \(b\) : \(\ln 6\) ; \(\ln 12\) ; \(\ln\dfrac{3}{4}\) ; \(\ln 72\) ; \(\ln\sqrt{18}\).

4 Écrire avec un seul logarithme ★★★

Simplifie : \(A = \ln 50 - \ln 2\) ; \(B = \ln 8 + \ln\dfrac{1}{4}\) ; \(C = 3\ln 2 + \ln 5\) ; \(D = e^{2\ln 3}\).

5 Équations élémentaires ★★★

Résous : (a) \(\ln x = 2\) ; (b) \(\ln x = -1\) ; (c) \(\ln(2x) = 0\) ; (d) \(\ln(x - 1) = 3\).

6 Premières dérivées ★★★

Dérive sur \(]0\,;+\infty[\) : \(f(x) = 3\ln x - 2x\) ; \(g(x) = x\ln x - x\) ; \(h(x) = \ln(2x + 1)\) ; \(k(x) = (\ln x)^2\).

7 Signe de ln ★★★

Résous sur \(]0\,;+\infty[\) : (a) \(\ln x \gt 0\) ; (b) \(\ln x \leq 0\) ; (c) \(\ln x \geq 1\) ; (d) \(\ln x \lt -2\).

8 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant (\(a\) et \(b\) sont des réels strictement positifs).

1. \(\ln 3 + \ln 4 = \ln 12\).
2. \(\ln(5 + 2) = \ln 5 + \ln 2\).
3. \(\ln 9 = 2\ln 3\).
4. Pour tout réel \(x\) non nul, \(\ln(x^2) = 2\ln x\).
5. \(\dfrac{\ln a}{\ln b} = \ln a - \ln b\).

9 Une équation à deux logarithmes ★★★

Résous \(\ln(x - 2) + \ln(x + 1) = \ln 4\).

10 Une équation du second degré en ln x ★★★

Résous \((\ln x)^2 - 3\ln x + 2 = 0\) en posant \(X = \ln x\).

11 Comparer deux logarithmes ★★★

Résous l’inéquation \(\ln(3 - x) \gt \ln(x + 1)\).

12 Variations de ln(x² + 1) ★★★

Soit \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). (a) Justifie que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\). (b) Calcule \(f'(x)\) et dresse le tableau de variations. (c) Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\).

13 Quatre limites ★★★

Détermine : (a) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^2}\) ; (b) \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^2\ln x\) ; (c) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x - 3\ln x)\) ; (d) \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{x}\).

14 Un stock qui s’épuise ★★★

Un entrepôt contient \(800\) kg d’un produit dont le stock diminue de \(6\,\%\) chaque semaine. Au bout de combien de semaines passe-t-il sous \(300\) kg ? (Calculatrice autorisée.)

15 Une inégalité fondamentale ★★★

Soit \(f(x) = x - 1 - \ln x\) sur \(]0\,;+\infty[\). (a) Calcule \(f'(x)\) et dresse le tableau de variations de \(f\), limites comprises. (b) Déduis-en que \(\ln x \leq x - 1\) pour tout \(x \gt 0\).

16 La courbe de ln x / x ★★★

Soit \(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\). (a) Montre que \(f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}\). (b) Dresse le tableau de variations complet. (c) Résous \(f(x) = 0\) et \(f(x) \gt 0\).

17 Une inéquation avec (ln x)² ★★★

Résous sur \(]0\,;+\infty[\) l’inéquation \((\ln x)^2 - \ln x - 2 \geq 0\).

18 π puissance e contre e puissance π ★★★

(a) Détermine l’équation de la tangente \(T\) à la courbe de \(\ln\) au point d’abscisse \(e\). (b) Justifie que \(\ln x \leq \dfrac{x}{e}\) pour tout \(x \gt 0\). (c) Déduis-en lequel des nombres \(\pi^e\) et \(e^{\pi}\) est le plus grand.

19 Combien de chiffres ? ★★★

On donne \(\log 2 \approx 0{,}30103\) et \(\log 7 \approx 0{,}84510\). Détermine le nombre de chiffres de l’écriture décimale de \(2^{100}\), puis de \(7^{50}\).

20 Doubler son capital ★★★

Un capital placé à intérêts composés à \(3\,\%\) par an double-t-il en \(20\) ans ? Quel est le nombre minimal d’années pour qu’il double ? (Calculatrice autorisée.)