1 Fonction Gamma / 3 pts
Calculatrice interdite. (a) Donne \(\Gamma(5)\). (b) Donne \(\Gamma(\tfrac72)\). (c) Calcule \(\int_0^{+\infty}t^4e^{-2t}\,dt\).
2 Intégrale à paramètre / 4 pts
Soit \(G(x)=\int_0^1e^{xt}\,dt\) pour \(x\in\mathbb R\). (a) Justifie que \(G\) est continue sur \(\mathbb R\). (b) Montre que \(G\) est \(C^1\), donne \(G'(x)\) sous forme intégrale et calcule \(G'(0)\).
3 Inversion d’ordre / 3 pts
Calcule \(I=\int_0^2\Big(\int_{x/2}^1e^{y^2}\,dy\Big)dx\).
4 Coordonnées polaires / 4 pts
Soit \(D_R\) le disque de centre \(O\) et de rayon \(R>0\). (a) Calcule \(\iint_{D_R}e^{-(x^2+y^2)}dx\,dy\) en polaires. (b) Quelle est la limite quand \(R\to+\infty\) ? Que retrouve-t-on ?
5 Probabilité par intégrale double / 3 pts
\(X\) et \(Y\) sont indépendantes et uniformes sur \([0,1]\). (a) Écris \(P(X+Y\le\tfrac32)\) comme une intégrale double. (b) Calcule-la.
6 Questions de cours / 3 pts
Justifie chaque réponse. (a) Pour \(f\ge0\) mesurable sur \(X\times Y\), peut-on échanger les intégrales sans vérifier l’intégrabilité ? (b) \(\Gamma(0)\) existe-t-elle ? (c) \(x\mapsto\int_0^{+\infty}e^{-xt}dt\) est-elle continue sur \(]0,+\infty[\) ?
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