Équations différentielles linéaires : exercices de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Vrai ou faux autour de Cauchy ★★★

Soit \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) et \(B\) continue sur \(\mathbb{R}\). Justifie chaque affirmation.

1. L’espace des solutions de \(X’ = AX\) est de dimension \(3\).
2. Si \(X_1, X_2\) résolvent \(X’ = AX + B\), alors \(X_1 + X_2\) aussi.
3. Si \(X_1, X_2\) résolvent \(X’ = AX + B\), alors \(X_1 - X_2\) résout \(X’ = AX\).
4. Une solution non nulle de \(X’ = AX\) peut s’annuler en un instant \(t_0\).

2 Exponentielle d’une matrice diagonale ★★★

Soit \(A = \mathrm{diag}(2, -3)\). Calcule \(e^{tA}\), puis résous \(X’ = AX\) avec \(X(0) = (4, 5)\).

3 Une matrice nilpotente ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\).

1. Calcule \(A^2\), puis \(e^{tA}\).
2. Résous \(X’ = AX\) avec \(X(0) = (1, 2)\).

4 Équation d’ordre 2 : deux racines réelles ★★★

Résous \(y'' - 5y’ + 6y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y’(0) = 0\).

5 Oscillateur harmonique ★★★

Résous \(y'' + 9y = 0\) avec \(y(0) = 2\) et \(y’(0) = 6\), puis donne l’amplitude de la solution.

6 Calculs de Wronskiens ★★★

Calcule le Wronskien de :

1. \(y_1 = \cos 2t\) et \(y_2 = \sin 2t\) ;
2. \(y_1 = e^{t}\) et \(y_2 = e^{-t}\).

Dans chaque cas, ces fonctions forment-elles une base des solutions d’une équation d’ordre 2 ?

7 Équation du premier ordre avec second membre ★★★

Résous \(y’ = 2y + 4t\) sur \(\mathbb{R}\) en cherchant une solution particulière affine.

8 Un système de dimension 2 ★★★

Résous \(X’ = AX\) avec \(A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\) et \(X(0) = (1, 4)\).

9 Rotation dans le plan ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\).

1. Écris \(A = 2J\) avec \(J^2 = -I\) et déduis \(e^{tA}\).
2. Résous \(X’ = AX\), \(X(0) = (3, 0)\), et montre que \(x^2 + y^2\) est constant.

10 Racines complexes avec amortissement ★★★

Résous \(y'' + 2y’ + 5y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y’(0) = 0\).

11 Racine double et second membre ★★★

On considère \(y'' - 4y’ + 4y = e^{2t}\).

1. Vérifie que \(y_p(t) = \tfrac{t^2}{2}e^{2t}\) est solution.
2. Détermine la solution vérifiant \(y(0) = 1\) et \(y’(0) = 0\).

12 Formule d’Abel ★★★

Soit \(y'' + 3y’ + 2y = 0\).

1. Vérifie que \(e^{-t}\) et \(e^{-2t}\) sont solutions et calcule leur Wronskien \(W\).
2. Vérifie que \(W’ = -3W\) et conclus.

13 Stabilité de deux systèmes ★★★

Étudie le comportement en \(+\infty\) des solutions de \(X’ = A_1X\) et \(X’ = A_2X\) avec \(A_1 = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\) et \(A_2 = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\).

14 Exponentielle d’un projecteur ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\). Calcule \(A^2\), puis \(e^{tA}\), et vérifie que \(\dfrac{d}{dt}e^{tA} = Ae^{tA}\).

15 Variation des constantes pour un système ★★★

Résous \(X’ = AX + B(t)\) avec \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\), \(B(t) = (e^{3t},\ 2e^{3t})\) et \(X(0) = (0, 0)\).

16 Déterminant d’une exponentielle ★★★

Pour \(A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\), montre que \(\det e^{A} = e^{\mathrm{tr}A}\), puis généralise aux matrices diagonalisables.

17 Résonance ★★★

Résous \(y'' + 4y = \cos 2t\). Vérifie que \(y_p = \tfrac{t}{4}\sin 2t\) convient et commente le comportement des solutions.

18 Régimes d’un oscillateur amorti ★★★

Soit \(y'' + ky’ + 4y = 0\) avec \(k \gt 0\).

1. Selon \(k\), donne le régime (pseudo-périodique, critique, apériodique).
2. Pour \(k = 1\), détermine la pseudo-période.
3. Montre que toute solution tend vers \(0\) en \(+\infty\).

19 Solutions globales et explosion ★★★

Compare \(y’ = 2ty\) et \(y’ = y^2\) avec \(y(0) = 1\) : sur quels intervalles les solutions maximales sont-elles définies ? Quel théorème l’explique ?

20 Variation des constantes avec une tangente ★★★

Résous \(y'' + y = \tan t\) sur \(]-\pi/2, \pi/2[\) par variation des constantes avec la base \((\cos, \sin)\).